1. Общее представление многошаговых методов.

Многошаговым называется численный метод решения задачи Коши (2.1), (2.2), который может быть задан формулой:

.

Здесь значение решения y_n+k и точке x_n+k определяется через значения решения в k точках, предшествующих x_n+k. Такой метод называется k‑шаговым.

Из класса (1) можно выделить многошаговые методы вида:

, , (2)

применяемые на сетке с постоянным шагом

, 1, 2,…,, . (3)

Разность между наибольшим и наименьшим значениями индекса неизвестной функции y_n, входящей в уравнение (2), равна k. Поэтому соотношение (2) является разностным уравнением k‑го порядка, общее решение которого зависит от k параметров. Чтобы выделить единственное решение этого уравнения, необходимо задать k дополнительных условий на функцию y_n. Этими дополнительными условиями являются значения функции y_n при i = 0, 1,..., k‑1, которые предполагаются известными.

Если искомое решение y_n+k входит в правую часть этого уравнеия, что бывает, когда b_k ? 0, то формула (2) определяет неявный метод. Если b_k = 0, то искомое решение в правую часть не входит и уравнение (2) определяет явный метод.

Наряду с (2) используется также следующая запись разностного уравнения:

. (8)

Уравнения (2) и (8) называются также конечно-разностными схемами.