<<
>>

2.4.1 Методы представления детерминированных компонент составляющих объекта измерения.

Детерминированные функции времени (сигналы) могут иметь различный вид. Поэтому естественно стремиться представить любую детерминированную функцию в каноническом виде через какие-то стандартные функции.

Одним из распространенных, канонических представлений детерминированных функций является разложение их в ряд по ортогональным функциям:

ад

Ф(1 ) = 2 (t), (2.32)

k=0

где Ak .коэффициенты разложения;

ф0)(г),..,фк (t) - ортогональные координатные функции, т.е.

такие, что

b Го, при i Ф k

f p(t)фk (t)ф (t)dt = j' F . k a [1, при i = k.

Здесь р^-весовая функция.

В качестве координатных функций могут выступать самые разнообразные функции. Так, если функция ф(г) рассматривается на конечном интервале времени от T1 до T2, то в качестве координатных функций могут быть выбраны различные ортогональные полиномы Чебышева, Лежандра и др.

Наиболее часто в качестве координатных ортогональных функций выбираются тригонометрические функции. В этом случае детерминированная функция (p(t), рассматриваемая на конечном интервале времени от T до T2, может быть представлена в виде ряда Фурье:

b

(2.33) 112

Ф(1 ) = + 2 (ak sin kwt + bk cos kwt) .

k=1

п 2п

ak T - T) 2 T2 Г T -

2 t j

т 2 T2 2 Здесь w = круговая частота первой гармоники;

bk = T __ T - ^^ kWtdt¦

T2 - T1 T1

Формулу (2.33) перепишем в виде

— ад

J>(t) = —т + ? A sin(kwt + фк), (2.34)

2 k=1

Ak =a.

Как видно из формулы (2.34) сигнал ф(^) представлен в виде суммы его

постоянной составляющей и бесконечного числа гармонических

составляющих Ak sSin(kwt + фк).

На практике очень часто число членов ряда (2.34) ограничивают конечным числом n, выбирая величину n так, чтобы 95 % энергии сигнала было сосредоточено в диапазоне частот от 0 до nw.

Энергия сигнала ф(t) существующего на интервале времени от T до Т2г определяется по формуле:

T2

E = JV(t )dt. (2.35)

Подставляя в выражение (2.35) значение ф(^) из формулы (2.33), представим энергию сигнала в функции коэффициентом ряда Фурье:

'Г' 'Г' ад т* т1 ад

E = T4-TL ? a + b2) = T^-T- ? Ak2. (2.36)

2 k=0 2 k=0

Если энергия сигнала известна, то число и членов ряда Фурье, которым можно ограничиться при описании сигнала, определяется по формуле:

T — T n

0.95E = 2-2 ? A2. (2.37)

2 k=0

Зная n, можно определить такую важную характеристику сигнала, как верхнюю граничную частоту спектра, которая принимается равной частоте наивысшей гармоники, т.

е.

Fb = W = nw = . (2.38)

b 2n 2n T2 - T v 7

Энергию сигнала необходимо знать не только для того, чтобы определить допустимое конечное число членов ряда или верхнюю граничную частоту спектра сигнала, но и для оценки энергетических характеристик сигнала. К энергетическим характеристикам сигнала, помимо

его энергии относится так называемая мощность сигнала и его действующее значение.

Мощностью сигнала Ф(1 ), существующего на интервале времени от Tj до т2, называется величина

E т

1

P.' =¦

—— /Ф2(1 )dt, (2.39)

т — т т — т

12 12 т

a действующим значением-

4P

E

1 т2

\

—-|Ф2(1 )dt. (2.40)

т — т

21

т — т

12 J 1 т

Из формул (2.35), (2.39) и (2.40) видно, что все энергетические характеристики сигнала (энергия Е, мощность Д, и действующее значение) жестко связаны между собой.

Если, сигнал Ф(1) представлен в виде ряда Фурье (2.33) или (2.34) то, как следует из выражений, (2.36) и (2.39), его мощность может быть определена по формуле

ад 1 ад

P. = j 2 К + b2) = j 2 Л2. (2.41)

k=0 2 k=0

Ряд Фурье (2.38) для функции Ф(1 ) существующий на интервале от т до т2 может быть записан также в комплексной форме:

ад

Ф(1 ) =2 cj, (2.42)

k=—ад

где комплексный коэффициент Ck определяется по формуле

1 т2

Ck = тг—т\Ф2(1 — тх)е-kwtdt. (2.43)

т 2 т 1 т1

Коэффициенты разложения в ряде (2.42) связаны с коэффициентами разложения ряда (2.33) соотношением:

CkNk = . (2.44)

Если сигнал ф(г) задается в виде ряда (2.42), то его мощность подсчитывается по формуле:

ад

P = 2 CkC;, (2.45)

где C k - комплексная величина, сопряженная с Ck.

В тех случаях, когда детерминированный сигнал Ф(1) является

ад

непериодической функцией и |ф|(p(t)|dt < ад, то его можно представить в

—ад

виде:

ад

Ф(1 ) = — f S (w)ejwtdw, (2.46)

2П —ад

где

S(w) = ]ф(^в—}Wtdt. (2.47)

—ад

Обычно в такой форме представляют импульсные сигналы.

Комплексная величина S(w) называется спектральной плотностью

сигнала или комплексным спектром. Модуль |S(w)| = TJS(W)S*(W) величины

S(w) называется просто спектром сигнала.

Энергия сигнала ф(^) представленного в виде выражения может быть подсчитана по формуле:

ад

E = П J| S (wf dw, (2.48)

п 0

a верхняя граничная частота Eb его спектра определяется из уравнения

2nF

- J|S(wf dw, (2.49)

2nF

1

П 0

0.95E =

ад

2nF

J|S(wf dw = 0.95J|S(wf dw. (2.50)

00

Уравнением (2.49) целесообразно пользоваться при известной энергии сигнала, а уравнением (2.50) - при неизвестной.

Большое значение для математического описания сигналов имеет теорема Котельникова, которая утверждает, что непрерывная функция времени Ф(1 ) не содержащая частот выше граничной wb = 2nFb, полностью определяется отсчетами мгновенных значений ф^А^ в точках, отстоящих

п

друг от друга на интервалы At = —.

Wb

Эта теорема позволяет представить непрерывную функцию Ф(1 ) в виде .(/ч ^ ±п Л xSinwb(t — kAt) /о ci\

Ф(1) = ? Ф(,А1 ) —у k \ (2.51)

k=—i w— (t — kAt)

n/2 ^ЛЧ sin wb (t — kAt) Ф(1 )* ? Ф(,А1) —v '. (2.52)

k=—n/2

wb (t — kAt)

Если функция ц(t) с ограниченным спектром рассматривается на

конечном интервале времени Т, то точное разложение (2.51) заменяется приближенными:

Пн 7/,AxSinwb(t — kAt) /о

Ф(1) * ? ф^М) — у k \ (2.53)

k=—n /2 wb (t — kAt)

n = 1 — 1 +1 * 2F—T.

где

-

.At J

Таким образом, в данном случае функция определяется в виде конечного числа n=2FbT ее отсчетов.

<< | >>
Источник: Пивоваров Ю.Н., Тарасов В.Н., Селищев Д.Н.. Методы и средства оперативного анализа случайных процессов:Учебное пособие. - Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ. 2004

Еще по теме 2.4.1 Методы представления детерминированных компонент составляющих объекта измерения.:

  1. 2.5.3 Случайной составляющей погрешности измерений
  2. 4.1. Диагностико-целевой компонент процесса формирования конфликтологической культуры специалиста
  3. 2.2. Математическое описание объекта измерения. Понятие об объекте измерения и его математическом описании
  4. 2.2.1 Общий подход к математическому описанию объекта измерения
  5. 2.2.2 Применение дисперсионного анализа
  6. 2.3 Статистические способы описания взаимосвязей между составляющими объекта измерения
  7. 2.4 Математическое описание составляющих объекта измерения
  8. 2.4.1 Методы представления детерминированных компонент составляющих объекта измерения.
  9. 2.4.2 Методы представления случайных компонент составляющих объекта измерения
  10. 3 Методы оценки характеристик составляющих объекта измерения
  11. Методы оценки характеристик составляющих объекта измерения
  12. 3.1 Методы оценки одномерных моментных характеристик
  13. 5 Методы оценки спектральных характеристик составляющих объекта исследования
  14. Методы оценки спектральных характеристик составляющих объекта исследования
  15. 6 Методы оценки законов распределения составляющих объекта исследования
  16. Методы оценки законов распределения составляющих объекта исследования
  17. 8.2 МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ В ОБЪЕКТАХ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
  18. Категории определенности