2.4.1 Методы представления детерминированных компонент составляющих объекта измерения.
Одним из распространенных, канонических представлений детерминированных функций является разложение их в ряд по ортогональным функциям:
ад
Ф(1 ) = 2 (t), (2.32)
k=0
где Ak .коэффициенты разложения;
ф0)(г),..,фк (t) - ортогональные координатные функции, т.е.
такие, чтоb Го, при i Ф k
f p(t)фk (t)ф (t)dt = j' F . k a [1, при i = k.
Здесь р^-весовая функция.
В качестве координатных функций могут выступать самые разнообразные функции. Так, если функция ф(г) рассматривается на конечном интервале времени от T1 до T2, то в качестве координатных функций могут быть выбраны различные ортогональные полиномы Чебышева, Лежандра и др.
Наиболее часто в качестве координатных ортогональных функций выбираются тригонометрические функции. В этом случае детерминированная функция (p(t), рассматриваемая на конечном интервале времени от T до T2, может быть представлена в виде ряда Фурье:
b
(2.33) 112
Ф(1 ) = + 2 (ak sin kwt + bk cos kwt) .
k=1
п 2п
ak T - T) 2 T2 Г T -
2 t j
т 2 T2 2 Здесь w = круговая частота первой гармоники;
bk = T __ T - ^^ kWtdt¦
T2 - T1 T1
Формулу (2.33) перепишем в виде
— ад
J>(t) = —т + ? A sin(kwt + фк), (2.34)
2 k=1
Ak = Как видно из формулы (2.34) сигнал ф(^) представлен в виде суммы его постоянной составляющей и бесконечного числа гармонических составляющих Ak sSin(kwt + фк). На практике очень часто число членов ряда (2.34) ограничивают конечным числом n, выбирая величину n так, чтобы 95 % энергии сигнала было сосредоточено в диапазоне частот от 0 до nw. Энергия сигнала ф(t) существующего на интервале времени от T до Т2г определяется по формуле: T2 E = JV(t )dt. (2.35) Подставляя в выражение (2.35) значение ф(^) из формулы (2.33), представим энергию сигнала в функции коэффициентом ряда Фурье: 'Г' 'Г' ад т* т1 ад E = T4-TL ? a + b2) = T^-T- ? Ak2. (2.36) 2 k=0 2 k=0 Если энергия сигнала известна, то число и членов ряда Фурье, которым можно ограничиться при описании сигнала, определяется по формуле: T — T n 0.95E = 2-2 ? A2. (2.37) 2 k=0 Зная n, можно определить такую важную характеристику сигнала, как верхнюю граничную частоту спектра, которая принимается равной частоте наивысшей гармоники, т. Fb = W = nw = . (2.38) b 2n 2n T2 - T v 7 Энергию сигнала необходимо знать не только для того, чтобы определить допустимое конечное число членов ряда или верхнюю граничную частоту спектра сигнала, но и для оценки энергетических характеристик сигнала. К энергетическим характеристикам сигнала, помимо его энергии относится так называемая мощность сигнала и его действующее значение. Мощностью сигнала Ф(1 ), существующего на интервале времени от Tj до т2, называется величина E т 1 P.' =¦ —— /Ф2(1 )dt, (2.39) т — т т — т 12 12 т a действующим значением- 4P E 1 т2 \ —-|Ф2(1 )dt. (2.40) т — т 21 т — т 12 J 1 т Из формул (2.35), (2.39) и (2.40) видно, что все энергетические характеристики сигнала (энергия Е, мощность Д, и действующее значение) жестко связаны между собой. Если, сигнал Ф(1) представлен в виде ряда Фурье (2.33) или (2.34) то, как следует из выражений, (2.36) и (2.39), его мощность может быть определена по формуле ад 1 ад P. = j 2 К + b2) = j 2 Л2. (2.41) k=0 2 k=0 Ряд Фурье (2.38) для функции Ф(1 ) существующий на интервале от т до т2 может быть записан также в комплексной форме: ад Ф(1 ) =2 cj, (2.42) k=—ад где комплексный коэффициент Ck определяется по формуле 1 т2 Ck = тг—т\Ф2(1 — тх)е-kwtdt. (2.43) т 2 т 1 т1 Коэффициенты разложения в ряде (2.42) связаны с коэффициентами разложения ряда (2.33) соотношением: CkNk = . (2.44) Если сигнал ф(г) задается в виде ряда (2.42), то его мощность подсчитывается по формуле: ад P = 2 CkC;, (2.45) где C k - комплексная величина, сопряженная с Ck. В тех случаях, когда детерминированный сигнал Ф(1) является ад непериодической функцией и |ф|(p(t)|dt < ад, то его можно представить в —ад виде: ад Ф(1 ) = — f S (w)ejwtdw, (2.46) 2П —ад где S(w) = ]ф(^в—}Wtdt. (2.47) —ад Обычно в такой форме представляют импульсные сигналы. сигнала или комплексным спектром. Модуль |S(w)| = TJS(W)S*(W) величины S(w) называется просто спектром сигнала. Энергия сигнала ф(^) представленного в виде выражения может быть подсчитана по формуле: ад E = П J| S (wf dw, (2.48) п 0 a верхняя граничная частота Eb его спектра определяется из уравнения 2nF - J|S(wf dw, (2.49) 2nF 1 П 0 0.95E = ад 2nF J|S(wf dw = 0.95J|S(wf dw. (2.50) 00 Уравнением (2.49) целесообразно пользоваться при известной энергии сигнала, а уравнением (2.50) - при неизвестной. Большое значение для математического описания сигналов имеет теорема Котельникова, которая утверждает, что непрерывная функция времени Ф(1 ) не содержащая частот выше граничной wb = 2nFb, полностью определяется отсчетами мгновенных значений ф^А^ в точках, отстоящих п друг от друга на интервалы At = —. Wb Эта теорема позволяет представить непрерывную функцию Ф(1 ) в виде .(/ч ^ ±п Л xSinwb(t — kAt) /о ci\ Ф(1) = ? Ф(,А1 ) —у k \ (2.51) k=—i w— (t — kAt) n/2 ^ЛЧ sin wb (t — kAt) Ф(1 )* ? Ф(,А1) —v '. (2.52) k=—n/2 wb (t — kAt) Если функция ц(t) с ограниченным спектром рассматривается на конечном интервале времени Т, то точное разложение (2.51) заменяется приближенными: Пн 7/,AxSinwb(t — kAt) /о Ф(1) * ? ф^М) — у k \ (2.53) k=—n /2 wb (t — kAt) n = 1 — 1 +1 * 2F—T. где - .At J Таким образом, в данном случае функция определяется в виде конечного числа n=2FbT ее отсчетов.