Методы оценки спектральных характеристик составляющих объекта исследования

ад

Sx (®) = П Rx (т)еХР ^ dT. (5.1)

x

—ад

быть получен из соотношения (5.1) если заменить корреляционную функцию Rx (т) ее оценкой fkx (т)

ад

€ (0) = — J € (т) exp—0Т dT. (5.2)

—ад

Оперативность оценки спектральной плотности по алгоритму (5.2) будет целиком и полностью определяться оперативностью оценки корреляционной функции.

ад

Sm (0) = -J RM (т) exp-¦0 dT. (5.3)

—ад

Найдем квадратическую погрешность аппроксимации спектральной плотности Sx (0) и моделью S м (0)

ад

А, = J [Sx (0) — S м (0)]2 d0.

—ад

Подставив в эту формулу Sx(0) из уравнения (5.1) и SM(0) из выражения (5.3), получим

A' = П [Rx(т) _ RM (^ёт. (5 4)

Сопоставляя выражения (5.4) и (5.3), приходим к выводу, что As =A,

п

где А - квадратическая погрешность аппроксимации корреляционной функции Rx (т) моделью Rм (т). Так как обеспечивается минимум величины А, то будет минимальной величина As.

Таким образом, способ оценки спектральной области по соотношению (5.3) является оптимальным в том смысле, что будет обеспечен и минимум величины As.

Из приведенных соотношений видно, что задача аппроксимации спектральной плотности Sx(а) процесса X(t) функцией Sм (а) по минимуму квадратической погрешности сводится к задаче аппроксимации корреляционной функции Rx (т) этого же процесса функцией

ад

RM (т) = jSм (а) exp'ат da также по минимуму квадратической погрешности.

м

_ад

решение этой задачи уже подробно рассмотрено. На практике во многих случаях возникает необходимость в выявлении специфических свойств спектра анализируемого сигнала. Это может быть задача выявления экстремальных значений спектральной плотности и частот соответствующих им, сюда же можно отнести задачу определения эффективной ширины спектра мощности и др. Причем эти задачи должны решаться в условиях отсутствия информации о свойствах спектра. В этих случаях аппроксимативный способ оценки спектральной плотности может потребовать слишком сложных моделей, а следовательно, вызовет и большие трудности при технической реализации.

Для более эффективного решения поставленных задач целесообразно применять специальные способы оценки спектральных характеристик.

Для примера рассмотрим способы решения трех поставленных задач.

Пусть необходимо выявить экстремумы спектральной плотности мощности Sx(а), идентифицировать минимумы и максимумы и определить их конкретные значения и те частоты, которые им соответствуют.

Условие экстремума Sx (а) является

= 0. (5.5)

да

Из решения этого уравнения могут быть найдены частоты, соответствующие экстремуму. Для идентификации экстремумов необходимо

д2Sx (а)

знание знака второй производной

да 2

Для того, чтобы определить величины экстремумов, необходимо вычислить значения спектральной плотности при частотах, удовлетворяющих условию (5.5).

Итак, для решения поставленной задачи необходимо иметь три характеристики - спектральную плотность и две ее первые производные.

Способы оценки этих характеристик могут быть получены из соотношения (5.1), которое для удобств перепишем в виде

ад

Sx(0) = - JRx(T)cos(0T)dT. (5.6)

п0

Из выражения (5.6) находим

dSx (0) 1

— JTsin(0T)Rx(T)dT, (5.7)

77- J

д0 п

0

д2 Sx (0)

1ад

— \т cos(0T) Rx (T)dT. (5.8)

x

д0 2 п 0

Сделав в выражениях (5.6) - (5.8) замену Rx (т) = M [ X (t) X (t — т)] и затем перейдя от оператора M[.] к оператору Mf[], получим следующие оценки характеристик:

ад

€ (0) = M[[ X (t )J-cos(0T) X (t — T)dT];

'д?х (0)

ад

(5.9)

M X (t) J т sin(0T) X (t — T)dT];

д0 I in

д S(20) i = MX(t) J—-T2 cos(0T)X(t — T)dT].

Соотношения (5.9) дают алгоритм построения аппаратуры, блок - схема которой приведена на рисунке 39.

Как видно из рисунка, аппаратура состоит из трех идентичных по структуре каналов, каждый из которых включает в себя фильтр с регулируемым параметром ю, множительное устройство (МУ) и блок усреднения (БУ).

h0 (т) = — cos ат ж

h1(т) = _ — т sin ат ж

h2{i) = — т2 cosaт ж

Эти импульсные характеристики не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости и, следовательно, технически нереализуемы соответствующие им фильтры. Отсюда следует вывод, что не может быть решена задача получения несмещенных оценок спектральной плотности мощности и ее производных.

да

-> [д€ (а)]

да

Sx (а)

{д2€(а)]

Рисунок 40 - Блок-схема аппаратуры для оценки спектральных характеристик

Для обеспечения возможности технического решения задач и получения сколь угодно малых погрешностей от смещенности оценок поступим так же, как и при оценке моментов корреляционной функции, т.е. будем реализовывать фильтры с импульсными характеристиками вида

h0 (т) = — cos атН (т)

ж

hl(r) = _ — т sin атН (т) ж

В моменты, соответствующие равенству нули оценки первой производной спектральной плотности, фиксируется оценка спектральной плотности, знака второй производной и величина параметра фильтров ю.

Аналогичным образом может быть получен и способ оценки эквивалентной ширины спектра мощности процесса:

(5.11)

Да. = - <х

2Sx

где Sxm - максимальное значение спектральной плотности.

Как видно из выражения (5.11), для оценки эквивалентной ширины спектра должны быть предварительно определены дисперсия процесса <у2х и

максимальное значение спектральной плотности. Способы оценки дисперсии рассмотрены выше, а для оценки величины S может быть применен только, что рассмотренный способ. Аналогичные же подходы могут быть использованы и для оценки других спектральных характеристик.

Рассмотрим оценивание спектральной плотности мощности методом фильтрации.

Допустим, имеем стационарный случайный процесс и необходимо определить его спектральную плотность при частоте а = а0.

(5.12)

Sx(а0) = |Sx(а)5(а — а0)ёа

S(t) - четная функция, и тогда СПМ может быть определена при помощи структуры, изображенной на рисунке 40.

Схема включает в себя два блока - фильтр с частотной характеристикой W(jrn) и устройство измерения дисперсии (УИД). X (t) Y(t) УИД w w w D,

Рисунок 41 - Схема устройства для оценивания спектральной плотности мощности по методу фильтрации

(5.13)

Dy = J Sy (а)ёа = J Wjf Sx (а)ёа .

—ад

Определим дисперсию выходного сигнала фильтра Y(t):

Необходимо, чтобы Dy равнялась значению спектральной плотности на частоте ю0 Sx(0О), для этого нужно, чтобы выполнялось условие

W (j0)\ =8(0 — 0о).

Это и есть идея метода фильтрации.

На рисунке 41 показан график зависимости квадрата модуля частотной характеристики фильтра от частоты.

Такой идеальный фильтр технически реализовать не представляется возможным, и вместо идеального фильтра с частотной характеристикой W(jro) используем реальный, с частотной характеристикой Wp(jro), но тогда оценка будет принципиально меньше, чем уже полоса пропускания

Am

Уем C'

А

¦; А0ф ^ 0; YCM ^ 0; YCM = е1А0ф. ^ 8(0 — 00) = \W С/0)12 1 1 1 1 1 1 2А

1 1 1 1 1 1 1 1 1

! 1 1 1 1 1 1

1 ' Рисунок 42- График амплитудно - частотной характеристики фильтра для оценки СПМ по методу фильтрации

Статистическая методическая погрешность оценки спектральной плотности мощности будет определяться такой же погрешностью оценки дисперсии:

YcT =YcT (Dy ).

Было показано, что статистическая методическая погрешность yCT

оценки Dy пропорциональна отношению T, т.е.

T ky

T

YcT =YcT (Dy ) = C

^ ^ . const С другой стороны, Tky Даy = const, rky =

^ ^ * Aacy

Так как фильтр узкополосный, то

1

Tky =- , тогда YCT = C

const

Ааф T

""У

где Т - постоянная времени фильтра.

Чем больше Т, тем меньше методическая статистическая погрешность. При уменьшении полосы пропускания Ааф уменьшается

погрешность от смещенности, но увеличивается статистическая методическая погрешность. Поэтому для выбора характеристик фильтра лучше использовать среднеквадратическую погрешность

f Аа Л2 1

Г„ = Y2CM + yct = c2 —^ + c22 -Л-. (5.14)

Ааф T

чАас)

Т.е. существует некоторая оптимальная полоса пропускания Ааф,

значение которой можно выбирать, исходя из заданной квадратической погрешности, а значение Т определяют исходя из заданной погрешности от смещенности.

Другим способом оценки спектральной плотности мощности является так называемый косвенный способ (по имеющейся оценке автокорреляционной функции) или метод Блекмана-Тьюки.

Пусть имеем оценку автокорреляционной функции Йх (т), требуется

получить оценку спектральной плотности &х(а).

1 ад 1 ад

Sx (а) = — J Rx (т)соъатс1т = —\ Rx (т)соъатс1т. (5.15)

2п — п 0

—ад 0

Оценку R (т) получаем как последовательность отсчетов Rkx (0), $х (А),..., Rkx ((N — 1)А), т.е. имеется принципиально конечное число отсчетов оценки АКФ. Интеграл приближенно можно переписать

1 N—1

Sx(0) «SRx(mA)cosШ0АА. (5.16)

П m=0

Сделав замену Rx (тА) на $x (тА), получаем:

А 1 N—1

Sx (0) «S €(тА)cos тоАА,

x v / — m 0АА, или точнее

П т=0

А N—1

.Sx (0)« ——(2^ Я (тА) cos т0А — R0}. (5.17)

2п т=0

Тогда оценка спектральной плотности мощности примет вид:

А N —1

€ (0) « — (2^ Л(тА)R^x (тА) cos т0А — R0}, (5.18)

2п

т=0

где h(m) определяют, исходя из обеспечения минимума среднеквадратической погрешности

8= M [(S0) — S (0)}2] = min

Следующим подходом к получению эффективных оценок спектральной плотности мощности является аппроксимативный способ. Априорно выбирается та или иная модель СПМ.

SM (0) = SM 000.Av. PN ,0).

Выбирается тот или иной критерий адекватности: моментов, производных или квадратический.

Рассмотрим последний из них:

ад

А= J [Sm (0) — SM (0)]2 d0;

—ад

ад 1 ад ад

JSM(0)SX(0)d0 = — J JRm(T)COS0TSx(0)dTd0 =

ад 2— —ад—ад

1 ад ад 1 ад

J Rm (T)[ J Sx (0)cos0Td0]dT = — J Rm (T)Rx (T)dT ;

адад

А = —J RM (T)dT — — J RM (T) RX (T)dT +

2п п

адад

— J RX (T)dT = —[ J RM (t) — RX (t)]2 dT . (5.19)

—ад —ад

Если здесь ввести погрешность аппроксимации автокорреляционной

функции, тогда шаг дискретизации А определиться соотношением А =—8.

2п

При построении модели необходимо выбрать базис (лучше ортогональный), причем необходимо отдавать себе отчет в том, что с какого типа сигналом мы имеем дело: с широкополосным (с монотонной АКФ) или узкополосным (с колебательной АКФ).