5.1 Современные методы оценивания спектральной плотности мощности

Основное преимущество этих методов перед традиционными заключается в том, что последние используют значения АКФ или реализации процесса (в случае метода периодограмм Шустера) лишь на ограниченной выборке временной последовательности, а это ведет к образованию боковых лепестков в спектральных оценках, возникновению ложных максимумов в спектральных оценках, эффекту «маскировки» или слабых сигналов, в то время как у методов, использующих моделирование входного временного ряда, этот недостаток отсутствует. Но с другой стороны, применение этих методов требует довольно большой априорной информации о процессе, которую получить удается не всегда.

Спектральный анализ с использованием методов с моделированием входного рода разбивается на три этапа /5/:

выбор модели временного ряда;

оценивание параметров модели;

получение оценки СПМ подстановкой оценок параметров модели в расчетное выражение для спектральной оценки.

Кроме того, задача спектрального оценивания в случае применения моделей входных последовательностей осложняется необходимостью выбирать порядок модели.

Наиболее часто в спектральном анализе используются следующие нетрадиционные методы /5/:

АР - моделирование;

СС - моделирование;

АРСС - моделирование;

метод максимальной энтропии;

метод гармонического разложения Писаренко;

метод максимального правдоподобия Кейпона;

анализ с комбинированным временным и корреляционным

взвешиванием;

анализ со взвешенным средним с пересекающимися сегментами.

Рассмотрим подробнее метод СА, основанный на АР - моделировании входной последовательности.

Пусть входная {Un} и выходная последовательность связаны выражением

Xn =±blUn-l-iranXn_k . (5.20)

l=0 k=1

Как видно из (5.20), это - общая авторегрессионая модель со скользящим средним (АРСС - модель) .

H(z) = . (5.21)

A(z) У J

z-преобразования АР- и СС-частей процесса задаются следующим образом:

A( z) = ? amz-m;

(5.22)

m=0

B( z) = ±amZ-m.

m=0

Пусть входной процесс - белый шум с СПМ.

S(ф) = а2 At,

тогда спектральная плотность выходного сигнала

2

B{exp( jфAt)}

(5.23)

§(Ф) = ст2 At

A{exp( jфAt)}

(5.24)

Как видно из (5.23) для того, чтобы оценить СПМ сигнала {Xn} необходимо определить значения коэффициентов авторегрессии {ак} к нулю и положить а0=1 и b0=1, то процесс (5.20) сводится к СС - процессу порядка q:

Xn =S blUn—l ,

l=0

СПМ которого определяется выражением

2

S(0) = o2 At

(5.25)

А(ехр(/0)}

2—

(5.20) можно свести к АР - процессу порядка р, устремив к нулю все коэффициенты {Ьк} в этом случае соотношение примет вид

(5.26)

Xn =—S anXn-k + Un

k=1

его спектральная плотность:

а2 At

(5.27)

S(0) =

2

-1 Б(exp(j0At)} 2—

Оценивание АР -коэффициентов связано с решением линейных уравнений и в этом заключается основное преимущество АР - моделей по сравнению с СС - и АРСС - моделями.

В этом случае (5.27) можно представить в виде

а2 At

(5.28)

2

S(0) =

1 р

1 + -? а к (—/0А)

— k=1

При вычислении оценки СПМ необходимо определить соотношение между параметрами модели и АКФ, которая может оцениваться или являться неизвестной. Эти соотношения задают уравнения Юла - Уокера /5/, которые могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

(5.29) Rx (0), Rx (—1)...Rx [(—p — 1)]" ax X (1)" Rx (1), Rx (0)...Rx [(—p — 1)] a 2 = Rx (2) Rx (p — 1), Rx (p — 2)... Rx (0)_ ap _ .Rx (p)"

При помощи (5.29) определяются коэффициенты авторегрессии. Для нахождения дисперсии систему (5.29) необходимо преобразовать

Rx (0), Rx (-1)...RX [(-p)] Rx(1),Rx(0)...RX[(-p -1)] 1 а 2 = 0 ap 0 (5.30)

L Rx (p), Rx (P - 1)..R (0)

Система (5.30) решается с использованием алгоритмов Левинсона - Дербина и Берба и их модификаций.

Спектральное оценивание по методу максимальной энтропии основано на экстраполяции интервала значений корреляционной функции на значение аргумента, где ее вид неизвестен.

известных значениях корреляционной функции на сегменте [0, p] обеспечивается положительная полуопределенность ее в точках вне пределов этого сегмента {Rx (p +1), Rx (p + 2),...}, т.е. осуществляется некоторая экстраполяция АКФ. Способов проведения экстраполяции много и, в частности, существует и такой, при котором временной ряд имеет максимальную энтропию и, соответственно, наиболее плоский спектр. Критерий максимальной энтропии показывает наименьшее число

ограничений на модель исследуемого процесса, хотя оценка Sx (а) СПМ оказывается принципиально смещенной. Если закон распределения случайного процесса предположить нормальным, то энтропия на один отсчет определяется соотношением

п

At

Hn = ?lnS(a)da . (5.31)

п

- At

Спектральная плотность Sx (а) определяется отысканием глобального максимума функции, заданной выражением (5.31).

Если известно (р+1) значений АКФ, то на n - м отсчете Rx (n) определяется выражением

п

At

Rx(n) = ?S(a)exp(janAt)da . (5.32)

-п

- At

Решение относительно S(а) находится методом множителей

S (0) = — 2-, (5.33)

1+ S apk (—]0А)

- к=

где {ap1,ap2,...} - параметры устройства предсказания р - го порядка. Выражение для оценки СПМ может быть записано и другим образом:

А ш

S(0) = — S Г (n)exp(—70ПАО, (5.34)

где rx(n)=

Rx (n) \n\ < p

(5.35)

—S apkrx(n—kx И > p

Как видно из (5.34) и (5.35), спектральная оценка сохраняет известные значения АКФ и рекурсивно продолжает их за пределами окна. Т.е. спектр в данном случае не имеет боковых лепестков, обусловленных конечным значением ширины окна.

Параметры АР - модели могут оцениваться различными способами: по имеющейся оценке АКФ (в этом случае оценки АКФ подставляются в уравнение Юла - Уокера вместо значений корреляционной функции) или по отсчетам данных (при этом обычно используют оценку по максимуму правдоподобия ССМП).

Спектральные оценки на основе СС - моделей синтезируются следующим образом.

Как указывалось выше, процесс скользящего среднего (5.24) представляет собой случайный процесс на выходе фильтра, передаточная функция которого содержит одни нули, а на вход подается белый шум {nn}

Спектральные оценки на основе СС - моделей синтезируются следующим образом.

Как указывалось выше, процесс скользящего среднего (5.24) представляет собой случайный процесс на выходе фильтра, передаточная функция которого содержит одни нули, а на вход подаются белый шум {nn}

q

Xn = E bn ,

n / i 1 n-1 l=1

математическое ожидание, которого равно нулю, а дисперсия

M [nn+1nn ]=02SX ,

где =1, при l=1 и S=0 во всех остальных случаях. Автокорреляционная функция СС- порядка q определяется соотношением

2q E kbb1+к ,-k=0-q

Rx (k) =

lE0 . (5.36)

0, к > q

Если известны (q+1) значений АКФ, то параметры СС-процесса можно определить методом моментов, но для спектрального анализа это не является необходимым, так как вполне достаточно определить АКФ, так как на основании теоремы Винера - Хинчина

1q

S (а) = — E Rx (m)exp(- jam At). (5.37)

2п m=-q

Из (5.37) видно, что эта спектральная оценка идентична оценке по методу Блэкмана-Тьюки 121.

В данном случае метод моментов для оценки параметров СС- процесса применять невозможно. Если же для отыскания параметров использовать метод наименьших квадратов, то она будут соответствовать оценке АКФ, так как с помощью (5.36) задается однозначное преобразование.

Параметры СС - процесса удобно рассматривать как промежуточный этап оцениванию спектра.

Более того, даже в случае узкополосных спектров представляется необходимым оценивать слишком большое количество коэффициентов для моделирования СС- процесса, это приводит ухудшению спектральных оценок. К числу недостатков этого метода следует отнести низкое разрешение по частоте, необходимость определять порядок модели (что само по себе представляет довольно трудную задачу), а также присутствие боковых лепестков, что в значительной степени снижает любые достоинства его о сравнению с традиционными методами.

Несколько лучшие результаты дает оценивание на основе авто регрессии и скользящего среднего. Рассмотрим этот метод.

В АРСС - модели предполагается, что временной ряд {Xn} можно рассматривать как процесс на выходе фильтра с р полюсами и q нулями, на вход которого подается белый шум с нулевым средним и дисперсией а2 .

(5.38)

Xn = ? Ь1Пп-к -? акХп-к

к=1

к=00

Если параметры АРСС (p,q) - модели определены, то

2

2 i q

S (а) = \И [exp( jaAt ]\2 S (а)

(5.39)

а At 1 + — ? Ьк exp(- j^At) пк = 0 к

Соотношение между АРСС - параметрами и АКФ определяется выражением

(5.40)

q р

R (m) = ? b R (m - к) - ? a R (m - к), x к о к nx к i к nx

где: Кш(к) = M[nn Хп-к] - взаимнокорреляционная функция процессов {n} и {X} или

р q bjR (l - к), l = 0, q

-?aAn(l-к)+к?0 к nx ;

(5.41)

R (l) =

xn

к= к = 0

-? akRxn (l - кI l = q +1 ад.

к=1

Уравнения (5.41) аналогичны уравнениям Юла-Уоркера. Основную трудность при рассматриваемом методе анализа составляет определение АРСС-параметров, которое требует очень большого количества вычислительных процедур и поэтому накладывает большие ограничения на обработку в реальном масштабе времени. Для уменьшения вычислительной нагрузки в настоящее время разработаны субоптимальные методы 111, в которых используется среднеквадратический критерий, и решаются линейные уравнения.

Следующим методом, подлежащим рассмотрению, является метод гармонического разложения Писаренко.

Основная идея этого метода состоит в моделировании случайного сигнала, состоящего из синусоид и белого шума, как частного случая АРСС- процесса.

Детерминированная часть сигнала, состоящая из р синусоид описывается разностным уравнением 2-го порядка с вещественными коэффициентами

X =— S amXn— m (5.42)

m=1

Аддитивная смесь процесса (5.42) с белым шумом описывается выражением

2p

y = X +0 = — S ay

n n n m n—m,

m = 1 '

J И И И mn — m,

(5.43)

2

M[0И0И + к] = а 0Sk, M[0И] = 0

т.е. белый шум не коррелирован с синусоидами.

Н° n—m = У n—m 0 n—m , следователЬно

S ay = S a 0 n m n — m n m n — m

m=0 m=0

или в матричной форме /5/

YTA = WT A,

где

YT = [ УиУи—V-Уп—2 p L AT = [1ai....a2 p—ia2 p ],

WT = [0n0n—1--0n—2p ]-

Уравнение процесса при этом запишется в виде

(5.46)

RyA = a wA

Ry =

Ry (0)....Ry (—2 p)

Дисперсия а2 - собственное значение автокорреляционной матрицы, а вектор АРСС - параметров А - собственный вектор, про масштабированный так, чтобы первый элемент соответствующей ему матрицы был равен 1.

Уравнение (5.46) представляет собой основу гармонического разложения Писаренко.

При использовании рассматриваемого метода необходимо знать число синусоид и параметры модели (либо значения АКФ). Если же число синусоид неизвестно, то их количество следует определять при помощи нелинейных процедур (S). Следует отметить, что в настоящее время не существует рекурсивных методов решения уравнения (5.46), что приводит к значительным вычислительным затратам при технической реализации метода гармонического разложения. Кроме того, получаемые спектральные оценки очень чувствительны к шумам и обладают плохим разрешением. В обобщенном методе Прони модель случайного процесса представляет собой набор экспонент с произвольными амплитудами, фазами и коэффициентами затухания. Функция дискретного времени

Л = Z bmznm (5.47)

m = 1

аппроксимирует измеренные значения X0, X1, Xn-1. В выражении

(5.47)

b = A exp( ]6 ); m m ^ J m'

* . ч (5.4o)

z = exp(a + ]ю At), m m m

где Am - амплитуда, 6ь- коэффициент затухания, ют - частота, At - интервал дискретизации.

Определение параметров {Am ,6m , At} и р имитирующих ошибку

N-1

* = ZIxn -2 (5.49)

n=0

представляет собой сложную нелинейную задачу. Существует и субоптимальное решение, которое не обеспечивает минимума (5.49), но все же дает удовлетворительные результаты. Это решение основано на методе Прони, где на промежуточном этапе проводится отыскание корней полинома (что устраняет проблему нелинейности), а затем определяются необходимые коэффициенты.

Этот полином

р р р -1

z) = П (z - z ) = ? алр 1,а = 1 (5.50)

к = 1 к 1 = 0 1 0

состоит из р экспонент, определяемых выражением (5.48). которые используются в качестве его корней и коэффициентов. Путем преобразований выражения (5.50) с учетом (5.41) получаем рекурсивное разностное уравнение

(5.51)

? = -? а ?

n / * m n-m

m=1

сходное с аналогичным, используемым в методе гармонического разложения Писаренко. Если еп - ошибка аппроксимации, то

xn = ?n +en (5.52)

и (5.51) примет вид

р р р

? =-?а ? + e =-?а e +?а l (5.53)

n m n-m n m n-m m n-m

m=1 m=1 m=1

То есть, моделью суммы экспонент и аддитивного шума является АРСС - модель с одинаковыми АР и СС - параметрами, возбуждаемая шумом. Задача определения этих параметров остается такой же .

Для процесса, определяемого суммой р вещественных синусоид и шума (а=0), справедливо соотношение

?n =?[bmznm + bmZm ] = ? Am cos(an,nAt + вп\ (5.54)

m=1 m=1

где bm = Am exp2(j0m) ;...Zm = exp(jOmAt),

Zm - корни единичного модуля с частотами в виде комплексно -

^ a>m 1

сопряженных пар, которые появляются до тех пор, пока fm = ^ 0 или

2п 2 At

Таким образом, необходимо решить уравнение (5.50) для нахождения корней полинома

ч

к=0

У(zz) = П(z-z1 )(z-z*) = ?а^2р-к, (5.55)

1=1

Спектр сигнала представляется набором ^-функций, то есть \zt\ = 1 и

затухающих экспонент.

По сравнению с гармоническим разложением Писаренко метод Прони обладает некоторыми преимуществами:

не требуется знать оценки АКФ;

ложных спектральных линий меньше;

смещение оценок частоты и мощности меньше, чем при разложении Писаренко.

Но тем не менее, оценивание СПМ по этому методу носит резко не линейный характер, коэффициенты процесса определяются через корни полинома методом наименьших квадратов, необходимо определить порядок модели, а зависимость от уровня помех высока /5/.

Спектральное оценивание с помощью метода максимального правдоподобия Кейпона (ММП) осуществляется измерением мощности на выходе узкополосных фильтров /2/.

Различие между ММП и методом Блэкмана - Тьюки заключается в том, что форма частотной характеристики при ММП для каждой частоты различна, в то время как в методе Блэкмана - Тьюки она остается неизменной.

Фильтры, реализующие алгоритмы спектрального оценивания по ММП, относятся к фильтрам с конечной импульсной характеристикой (КИХ) и имеют р весовых коэффициентов

A = К, ai,-an-i]- (5.56)

Коэффициенты фильтра выбираются так, чтобы на частоте анализа со0 его реакция ровнялась бы единице, а дисперсия была минимальна.

То есть необходимо минимизировать дисперсию а2 выходного процесса

a2AHRxA (5.57)

при единичной отклике фильтра на частоте со0 (то есть синусоида с частотой со0 проходит через фильтр без искажений)

EН A = 1, (5.58)

где Rx - ковариационная матрица Xn, E - вектор, определяемый соотношением

E = [1 • exp(ja0At )...exp|j (p - 1)00At ]],

а индекс Н - означает транспонированную, комплексно - сопряженную матрицу.

Минимальная дисперсия равна:

(5.59)

а

1

EH R- E

Оценка СПМ при этом

(5.60)

S (а0) =

At

0 EHRxE '

Но для вычисления этой спектральной оценки необходимо знать: оценку автокорреляционной матрицы, что само по себе затруднительно. Кроме того, оценки по ММП обладают худшей разрешающей способностью, чем остальные, а погрешности оценивания все методов, рассмотренных в данном подразделе сопоставлять не представляется возможным в силу погрешности методов.

Несмотря на обилие разновидностей и известны преимущества (например, хорошая разрешающая способность в ряде случаев), рассмотренных методов СА, последние не нашли практического применения для спектрального анализа особенно в ходе научного эксперимента при испытаний. Все существующие в настоящее время приборы и измерительные системы СА используют методы периодограмм Шустера и Блэкмана-Тьюки, причем предпочтение отдается последнему.

Рисунок 43 - Спектральное и корреляционное окна Пугачева - Даниэля