6.3.3 Использование квадратического критерия дляаппроксиматического оценивания плотности вероятности

ад

(6l7)

5= J [fM (x) - f (x)]2 dx

Параметры модели определяются из условия 5 = min.

fM (x) = fM (x, в0, Д,-PN ),

тогда условие минимума определится соотношением

(6l8) (6.l9)

д5

ж=0 m=0'N'

д5 = 2 J [fM (x) - f(x)fM = 0

дР,

дРп

ад

Получаем систему уравнений:

J f

(6.20)

m = 0, N

(x) - f (x)]dfm (x) dx = 0

двт

или

ад

ад

д/m (x)

(62l)

J fm (x) fx dx =J^ f ( x)dx.

двт -ад двт

В левой части все функции известны, этот интеграл ранен некоторой функции WM (Д, Д,...Д), а второй интеграл представляет собой математическое ожидание функции случайного аргумента, тогда

fm (x)

двт

(6.22)

= 0

Wm (Д,Д,...Д )=M

Как обычно, меняем оператор математического ожидания на оператор усреднения:

д fm ( x)

двп

(6.23)

А д.

€,...Д )= M

Это соотношение может быть использовано как алгоритм для синтеза измерительной аппаратуры. В ИИС должно быть (N+1) каналов, структурная схема одного из них приведена на рисунке 55. НУ СУ ФП Ш

h

Pi

h

X(t)

ФП

HapeiymipoBijr параметров

НИ

Рисунок 56 - Структура k-го канала ИИС для оценивания плотности вероятности по квадратическому критерию

Измерения ведутся до тех пор, пока все нуль-индикаторы не покажут "0". Необходимо иметь в виду, что такая ИИС имеет очень плохую сходимость. Поэтому такую ИИС можно использовать для аппроксимативной оценки f(x) моделью с числом параметров более, чем 2-3.

Пример 6.1.

Случайный сигнал имеет плотность вероятности, близкую к экспоненциальной. Тогда в качестве модели плотности распределения можно взять функцию

(6.24)

fm (x, в = p- е(0 < x <«).

df (x в) = e -в- x • e-ftc = (1 - вх)е ~вх.

dp

ад 1

Найдем (в) = pjе-2вх (1 - px)dx = -.

На рисунке 56 представлена структурная схема ИИС для определения параметра p.

Рисунок 57 - Структура ИИС для определения параметра p (пример 6.1)

N

fM (x) = ZPk Vk (x), (6.27)

k=0

где pk - параметры модели;

Vk (x)- базисные функции, которые желательно выбирать ортогональным, то есть

г Го, k * m

( x)Vm (x) = \; . (6.28)

J I A,, k = m.

-ад L k5

Здесь модель представляется линейной функцией от неизвестных параметров, решение системы (N+1) уравнений с (N+1) неизвестными сводится к решению совокупности (N+1) уравнений, каждое из которых имеет единственное неизвестное.

дм (x) = VM (x), (6.29)

двм

ад ( ^ N ад

j fM (x) fp^ dx = XPk j^M (X)VM (x)dx = вм AM . (6.30)

дРм k=0

-ад

Тогда

1

1

(6.31)

ад

pm =

¦V ( x)

j V (x)f (x)dx = M

mm

A

m

Am -ад

То есть, параметр модели определяется как математическое ожидание некоторой функции, воспользуемся стандартной заменой оператора математического ожидания на оператор усреднения и получим:

pm = M

(6.32)

T Vm ( x)

каждый из каналов строится по этому алгоритму, причем все каналы в этом случае взаимонезависимы.

Статистическая методическая погрешность определяется знакомым выражением:

Yct <

Остается вопрос, как выбирать N и базисные функции? Вычисляем погрешность 8, она зависит от упомянутых характеристик:

ад ад ад

8= j fm (x)dx - 2 j fm (x) f (x)dx + j f 2(x)dx . (6.33)

-ад -ад -ад

Определим слагаемые:

N N

fm (X) = ZZ Рквт% (x)% (X)

k=0m=0

ж N N ж N

J fm (x)dx = ZZPkPm J %(x)%(X)dx = ZPl\ (6.34)

-ж к = 0 m= 0 -ж к=0

ж N ж N

J fm(x)f (x)dx = Zвк J %k(x)f (x)dx = Z(6.35)

-ж к=0 -ж K=0

ж N

8 = J f 2(x)dx - ZPlh . (6.36)

-ж

K=0

С ростом N погрешность уменьшается, и существует такое свойство: lim 8 = 0,

N —^ж

но чем больше N, тем сложнее аппаратура, и значение N выбирается из конкретных условий эксперимента.

Простейшая модель получается при N=0:

ж

fm (x) = в0 %0(x), 80 = J[f (x) - в0 %0(x)]2 dx (6.37)

-ж

чтобы 8 = 0, нужно, чтобы в0 %0( x) = f (x) то есть базовую функцию 0-го порядка необходимо выбрать как можно ближе к истинной плотности вероятности.