Юридическая
консультация:
+7 499 9384202 - МСК
+7 812 4674402 - СПб
+8 800 3508413 - доб.560
 <<
>>

6.3.3 Использование квадратического критерия дляаппроксиматического оценивания плотности вероятности

Квадратическая погрешность аппроксимации выбранной модели fm(x) определяется выражением
ад
(6l7)
5= J [fM (x) - f (x)]2 dx
Параметры модели определяются из условия 5 = min. Пусть модель имеет вид
fM (x) = fM (x, в0, Д,-PN ),
тогда условие минимума определится соотношением
(6l8) (6.l9)
д5
ж=0 m=0'N'
д5 = 2 J [fM (x) - f(x)fM = 0
дР,
дРп
ад
Получаем систему уравнений:
J f
(6.20)
m = 0, N
(x) - f (x)]dfm (x) dx = 0
двт
или
ад
ад
д/m (x)
(62l)
J fm (x) fx dx =J^ f ( x)dx.
двт -ад двт
В левой части все функции известны, этот интеграл ранен некоторой функции WM (Д, Д,...Д), а второй интеграл представляет собой математическое ожидание функции случайного аргумента, тогда
fm (x)
двт
(6.22)
= 0
Wm (Д,Д,...Д )=M
Как обычно, меняем оператор математического ожидания на оператор усреднения:
д fm ( x)
двп
(6.23)
А д.
€,...Д )= M
Это соотношение может быть использовано как алгоритм для синтеза измерительной аппаратуры. В ИИС должно быть (N+1) каналов, структурная схема одного из них приведена на рисунке 55. НУ СУ ФП Ш
h
Pi
h
X(t)
ФП
HapeiymipoBijr параметров
НИ
Рисунок 56 - Структура k-го канала ИИС для оценивания плотности вероятности по квадратическому критерию
Измерения ведутся до тех пор, пока все нуль-индикаторы не покажут "0". Необходимо иметь в виду, что такая ИИС имеет очень плохую сходимость. Поэтому такую ИИС можно использовать для аппроксимативной оценки f(x) моделью с числом параметров более, чем 2-3.
Пример 6.1.
Случайный сигнал имеет плотность вероятности, близкую к экспоненциальной. Тогда в качестве модели плотности распределения можно взять функцию
(6.24)
fm (x, в = p- е(0 < x <«). Необходимо найти функцию преобразования
df (x в) = e -в- x • e-ftc = (1 - вх)е ~вх.
dp
ад 1
Найдем (в) = pjе-2вх (1 - px)dx = -.
На рисунке 56 представлена структурная схема ИИС для определения параметра p.

Рисунок 57 - Структура ИИС для определения параметра p (пример 6.1)


Рисунок 57 - Структура ИИС для определения параметра p (пример 6.1)

Чтобы повысить эффективность модели, ее нужно представить в виде:
N
fM (x) = ZPk Vk (x), (6.27)
k=0
где pk - параметры модели;
Vk (x)- базисные функции, которые желательно выбирать ортогональным, то есть
г Го, k * m
( x)Vm (x) = \; . (6.28)
J I A,, k = m.
-ад L k5
Здесь модель представляется линейной функцией от неизвестных параметров, решение системы (N+1) уравнений с (N+1) неизвестными сводится к решению совокупности (N+1) уравнений, каждое из которых имеет единственное неизвестное.
дм (x) = VM (x), (6.29)
двм
ад ( ^ N ад
j fM (x) fp^ dx = XPk j^M (X)VM (x)dx = вм AM . (6.30)
дРм k=0
-ад
Тогда
1
1
(6.31)
ад
pm =
¦V ( x)
j V (x)f (x)dx = M
mm
A
m
Am -ад
То есть, параметр модели определяется как математическое ожидание некоторой функции, воспользуемся стандартной заменой оператора математического ожидания на оператор усреднения и получим:
pm = M
(6.32)
T Vm ( x)
каждый из каналов строится по этому алгоритму, причем все каналы в этом случае взаимонезависимы.


Статистическая методическая погрешность определяется знакомым выражением:
Yct <
Остается вопрос, как выбирать N и базисные функции? Вычисляем погрешность 8, она зависит от упомянутых характеристик:
ад ад ад
8= j fm (x)dx - 2 j fm (x) f (x)dx + j f 2(x)dx . (6.33)
-ад -ад -ад
Определим слагаемые:
N N
fm (X) = ZZ Рквт% (x)% (X)
k=0m=0
ж N N ж N
J fm (x)dx = ZZPkPm J %(x)%(X)dx = ZPl\ (6.34)
-ж к = 0 m= 0 -ж к=0
ж N ж N
J fm(x)f (x)dx = Zвк J %k(x)f (x)dx = Z(6.35)
-ж к=0 -ж K=0
ж N
8 = J f 2(x)dx - ZPlh . (6.36)

K=0
С ростом N погрешность уменьшается, и существует такое свойство: lim 8 = 0,
N —^ж
но чем больше N, тем сложнее аппаратура, и значение N выбирается из конкретных условий эксперимента.
Простейшая модель получается при N=0:
ж
fm (x) = в0 %0(x), 80 = J[f (x) - в0 %0(x)]2 dx (6.37)

чтобы 8 = 0, нужно, чтобы в0 %0( x) = f (x) то есть базовую функцию 0-го порядка необходимо выбрать как можно ближе к истинной плотности вероятности. Для плотностей, близких к нормальным, в качестве таких моделей используют функции Эрмитта, а для близких к экспоненциальным - функции Дирихле или Лагерра.
<< | >>
Источник: Пивоваров Ю.Н., Тарасов В.Н., Селищев Д.Н.. Методы и средства оперативного анализа случайных процессов:Учебное пособие. - Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ. 2004

Еще по теме 6.3.3 Использование квадратического критерия дляаппроксиматического оценивания плотности вероятности:

  1. 1.2. Анализ метрологического обеспечения систем контроля и диагностирования сложных технических объектов.
  2. 4.1 Разработка алгоритма для реализации метрологического обеспечения контроля и диагностирования АТС.
  3. 2.5.3 Случайной составляющей погрешности измерений
  4. 4.1. Математическое ожидание критерия близости гистограмм
  5. 4.3. Оценка качества алгоритма идентификации состояния сцены на основе энтропийого критерия
  6. В процессе переговоров настаивайте на том, чтобы результат основывался на каком-либо объективном критерии.
  7. 5.1. t-критерий Стьюдента t-Критерий Стьютдента используется для:
  8. 6.3.1 Аппроксимативное оценивание плотности вероятности по критерию моментов
  9. 6.3.2 Аппроксимативное оценивание плотности распределения по методу производных
  10. 6.3.3 Использование квадратического критерия дляаппроксиматического оценивания плотности вероятности
  11. 5. Критерии классификации правовых систем