6.2 Непосредственный способ оценки плотности вероятности

Функция распределения: F (х0) = Jy (х) f (x)dx;

—ад

dY(x )

dx0

f (хо ) = F (хо ) = dF =Jd^X)f (x )dx = M

dx dx

dx0

Оценку получим заменой в соотношении (6.3) оператора математического ожидания на оператор усреднения:

dY{X (()}

(6.4)

дх0

Дхо )=M

Структура устройства для определения оценки плотности вероятности показана на рисунке 51.

f( Х0) X(t) dY(x ) W дх0 dY(x )

дх0 W У W

Рисунок 52 - Структурная схема устройства для измерения плотности вероятности по алгоритму (64)

то есть функция

¦ = ад,

дх0

Однако, в точке x0 производная

преобразования представляет собой дельта-функцию, что технически не реализуемо.

Плотность вероятности - это такая вероятностная характеристика, оценка которой всегда принципиально смещена из-за нереализуемости алгоритма.

Представим значение плотности вероятности в точке x=x0 в виде

F( х +—F (х —Лх:

Лх

x)

Лх

Лх

f(x0) = F(X0) = lim F(x0 +Лх) — F(x0) = ,im I 0 2 J I 0 2 J

Лх ^ 0

Лх ^ 0

Я(Х0 )= F (( +AX)— F (X0 ); l,m Л(Х0 ) = f(x0 ).

Лх ^ 0

То есть, если оценивать л(х0) и брать достаточно малую Ax, то можно получить оценку плотности распределения f(x0) с достаточно высокими метрологическими характеристиками.

График функций Y(x0) и Y(x0 +Лх)—Y(x0) изображены на рисунке 52.

w

+ Ax

x

x0 x0

AW

i

x0 x0+ Ax x Рисунок 53 - График функции преобразования ФП для синтеза технически реализуемого фильтра X

В качестве оценки плотности вероятности будем брать оценку величины Л : €(x0) = Дx0).

л ( ) F(x0 +Ax)-F(x0) M[l(-ro< x < x0 +Ax)] M^(-ад< x < x0)]

лЛ (x 0) = = =

(6.7)

Ax Ax Ax

M?[l(- ад < x < x0 + Ax)-1(- ад < x < x0)] Ax

(6.8)

ж )= g(x )M[frp < x < x0 +Ax)].

0 0 Ax

Если говорить о метрологических свойствах оценки Дx0), то выбором Ax можно сделать величину погрешности от смещенности усм сколь угодно малой. Статистическая методическая погрешность определяется знакомым выражением:

YCM < С^