6.2 Непосредственный способ оценки плотности вероятности
Функция распределения: F (х0) = Jy (х) f (x)dx;
—ад
dY(x )
dx0
f (хо ) = F (хо ) = dF =Jd^X)f (x )dx = M
dx dx
dx0
Оценку получим заменой в соотношении (6.3) оператора математического ожидания на оператор усреднения:
dY{X (()}
(6.4)
дх0
Дхо )=M
Структура устройства для определения оценки плотности вероятности показана на рисунке 51.
f( Х0) X(t) dY(x ) W дх0 dY(x )
дх0 W У W
Рисунок 52 - Структурная схема устройства для измерения плотности вероятности по алгоритму (64)
то есть функция
¦ = ад,
дх0
Однако, в точке x0 производная
преобразования представляет собой дельта-функцию, что технически не реализуемо.
Надо искать какой-то другой функциональный преобразователь ФП, но при этом возникает погрешность от смещенности.Плотность вероятности - это такая вероятностная характеристика, оценка которой всегда принципиально смещена из-за нереализуемости алгоритма.
Представим значение плотности вероятности в точке x=x0 в виде
F( х +—F (х —Лх:
Лх
x)
Лх
Лх
f(x0) = F(X0) = lim F(x0 +Лх) — F(x0) = ,im I 0 2 J I 0 2 J
Лх ^ 0
Лх ^ 0
Я(Х0 )= F (( +AX)— F (X0 ); l,m Л(Х0 ) = f(x0 ).
Лх ^ 0
То есть, если оценивать л(х0) и брать достаточно малую Ax, то можно получить оценку плотности распределения f(x0) с достаточно высокими метрологическими характеристиками.
График функций Y(x0) и Y(x0 +Лх)—Y(x0) изображены на рисунке 52.
w
+ Ax
x
x0 x0
AW
i
x0 x0+ Ax x Рисунок 53 - График функции преобразования ФП для синтеза технически реализуемого фильтра X
В качестве оценки плотности вероятности будем брать оценку величины Л : €(x0) = Дx0).
л ( ) F(x0 +Ax)-F(x0) M[l(-ro< x < x0 +Ax)] M^(-ад< x < x0)]
лЛ (x 0) = = =
(6.7)
Ax Ax Ax
M?[l(- ад < x < x0 + Ax)-1(- ад < x < x0)] Ax
(6.8)
ж )= g(x )M[frp < x < x0 +Ax)].
0 0 Ax
Если говорить о метрологических свойствах оценки Дx0), то выбором Ax можно сделать величину погрешности от смещенности усм сколь угодно малой. Статистическая методическая погрешность определяется знакомым выражением:
YCM < С^