5.2 Спектральное оценивание по методу Блэкмана - Тьюки

Методы Шустера и Блэкмана-Тьюки основаны на применении формул

2T

S (0) = Lim M<

T ^ ад

— J x(t )exp(- j0t )dt 2п — t

(5.61)

1

1

T

где Т - интервал наблюдения, 0 - частота анализа

(5.62)

1

S (0) = — J R(r)exp(— j0)dr 2п

— ад

как основ для получения спектральных оценок.

(5.63)

S0) = —L- M Г| Л(0)\2 2п T } 1

1 т

(5.64)

Skp) = — J R(r)cos(0r)dr 2п 0

на ограниченных временных (частотных) отрезках при аналоговом оценивании или ограниченных выборках временных последовательностей при синтезе дискретных оценок СПМ.

В цифровой форме оценки (5.63) и (5.64) принимают вид соответственно

Д t N — 1N — 1

(5.65)

nN

$•(0 ) = ^ Z x (i Д t) • x (к Д t) exp[ — j0 (i — к ) Д t ],

i = 0 к = 0

(5.66)

S(0) = ^L J 2 • NZ 1 Я(Ш) cos(k0Д) — R(0) \ . 2n l к = 0

Согласно принятой классификации традиционные методы спектрального оценивания могут быть охарактеризованы следующим образом:

оценки СПМ могут быть как аналоговыми, так и цифровыми;

оценки строятся по реализации исследуемого процесса без предварительного

его моделирования;

оценки линейны относительно своих параметров;

спектральные оценки получаются на ограниченных интервалах времени;

оценивание СПМ может производиться как по имеющейся оценке АКФ

процесса, так и непосредственно по его реализации.

Упомянутая выше процедура дополнительного сглаживания оценки /4/ эквивалентна умножению в преобразовании Фурье на некоторую весовую функцию - спектрального g(0) или корреляционного И(т) окна.

Приведенная характеристика оценок СПМ, получаемых традиционными методами, будет в дальнейшем продолжена путем рассмотрения метрологических характеристик спектральных оценок, получаемых с помощью разного вида окон.

ё2(0) = M

{{(0) — S (0 )}2 "I = Д2 cv + D[S(0 )] == min. (5.67)

Относительная среднеквадратическая погрешность при этом определяется следующим образом

г» = 4с^ + 4У. (5.68)

S 2(0) S 2(0) v 7

С учетом дополнительного сглаживания (использования

корреляционных окон) соотношения (5.65) и (5.66) примут вид соответственно:

1 ад

S(0) = - Jh(T)• RT)cos(0r)dr, (5.69)

n 0

At Г N—1 1

S0) = —J2ZКШ)• М(Ш)^(к0&) — h(0)R(0)\ . (5.70)

2n | к=0 J

При этом оценки с верху относительной дисперсии оценки СПМ и относительной ошибки от смещенности будут определяться соотношениями вида

Ф4* T J h(0)dT, (5.71)

S (0) T 0

у = M [0) — S (0)]- ^Tr0CJ[h(r) — 1]R(r)cos(0r)dr . (5.72)

cv n S(0)0

Погрешности оценивания, как видно из (5.71) и (5.72), определяются видом весовой функции к(т) (корреляционного окна).

К настоящему времени предложено много различных корреляционных окон, среди которых наибольшее распространение получили окна: Пугачева - Даниэля, Бартлетта, Хемминга, Тьюки, Парзена /4/.

Приведем краткий сравнительный анализ спектральных оценок с использованием перечисленных окон.

Окно Пугачева - Даниэля представляет собой прямоугольник в частотной области и определяется выражением

2п Aw —,| w |<

g(w) =

Aw Л 4п, (5.73)

Aw

0,| w |>

. 1 4п

соответствующее корреляционное окно имеет вид

( Aw

SinlT)т

Кт) = . (5.74)

'tl Aw

т

2

На рисунке 23 изображены графики функций ( 5.73 ) и (5.74 )

Очевидно, что использование этого окна эквивалентно полосовой фильтрации и требует большого объема вычислительных процедур. Оценка СПМ при этом имеет вид

A w

2 т л sin( )т

S(w) = — f R(т) —2 cos w тс!т. (5.75)

П J Aw^т

2

Погрешности оценивания в этом случае довольно велики, особенно для процессов с АКФ, обладающих низкой колебательностью.

Оценка сверху относительной среднеквадратической погрешности оценки Пугачева - Даниэля определяется выражением

Y = т +Y 2 =?m + (5.76)

/ T Гсш т S2(w) V 7

или

2 тт I 1 п

-\т2R(т)cos(wт)dT . (5.77)

ад

2

T I S(w) 3т

Для случайного сигнала с АКФ

(5.78)

D, ч — а \т | R(w) = e 1 'cos w^T

и СПМ:

а

(5.79)

S (w) = — • 2п

а

- + -

а2 + (w + w0)2 а + (w + w0)2

выражение (5.77) имеет вид

(5.80)

п

т

с2

X2 = — +

Т 9т\а4

где

(5.81)

с = 1 — 3(п + х)2 + 1 — 3(п + х)

1 + (п — х)2

ю0

[1 + (П + х)2]2 здесь

ю

х =

п = —;

а

а

Из (5.80) видно, что для уменьшения дисперсии оценки (5.75)

г 2п

необходимо уменьшать ширину корреляционного окна тт = —, но при этом

Аю

растет смещение.

Оптимальная ширина корреляционного окна (5.74) находится из условия существования экстремума следующим образом:

ду2 дтт

(5.82)

4п4С 2T

= 0;...т т = 5

3а4

где т m - оптимальное, в смысле среднеквадратического критерия, значение ширины окна.

Погрешность оптимизированной оценки Пугачева - Даниэля имеет вид

1

с К

(5.83)

(5.84)

И(т) =

Окно Барлетта представляет собой треугольник во временной области

у20 « (2.1 + 0.49)- 1 ;...|т| < т m

г

m

0;...\т\ > т

Соответствующее спектральное окно имеет вид:

• 2,А® sin (—К

(5.85)

2

g < = тт

(2)т

А® 2 2

m

а спектральная оценка:

(5.86)

2 ( т I S(<) = — Г ^^-(т)! 1 cos(<ат)ёт

— 0 I тт )

Графики функций (5.84) и (5.85) показаны на рисунке 43.

Как видно из (5.85) и рисунка 43, спектральная оценка имеет выраженные боковые лепестки, что крайне не желательно при спектральном анализе. Это объясняется тем, что спектр исследуемого сигнала, и особенно его слабые составляющие искажаются, так как боковые максимумы лепестков «маскируют» пики слабых гармоник обрабатываемого сигнала.

-т„

т т

m

g <

<

Рисунок 44 - Корреляционное и спектральное окна Барлетта

оценки определяется

Y

Среднеквадратическая погрешность выражением:

(5.87)

т 4 2

T а тт

—J тЯ(<а) cos^rd т

2 2 т

Y = m +

3 T

со

2

Оптимальная ширина окна т0т определяется соотношением:

0 8TC2

тт = л 7 и с учетом этого

V 0.667а

1

(5.88)

'C2/ •

у02 = (1.61 + 0.67) •

(аТ )2

Не смотря на простоту технической реализации, окно Барлетта довольно редко используется в современном спектральном анализе из-за явно выраженных боковых лепестков и сравнительно низких метрологических характеристиках.

Окно Хэмминга описывается во временной во временной и частотной областях уравнениями

т

V m J

ед =

(5.89)

0.54 + 0.46cos

0, \T\>Tm

\т\ < т

(5.90)

g(0) = 1.08^^00 + 0.46Sin(0Tm -п) + 0.46sin(0тт -п)

(0Тт -П)

0тт

0Тт +П)

и спектрального окон Хэмминга

Графики корреляционного изображены на рисунке 44:

2птт

2птт

1

-т

т

Рисунок 45 - Корреляционное и спектральные окна Хэмминга Погрешность у2 определяется выражением:

2

2п

(5.91)

у = 0.8^ +

T

4.35^ S (0)

- \т2R(T)cos(0T)dT

IJ

1

(5.92)

-C .

(аТ)4/ 25

у2 = (0.8 + 0.5)

Оценка, получаемая при помощи окна Тьюки, дает результаты несколько лучше, чем оценка Хэмминга.

m

т > т

(5.93)

т

V m ))

к(т) =

m

т <т

1 2

0;

С ( I Л!

—т

1 + cos

g << =

(5.94)

т

sln(Tm ) , тm sin {atm + —) , т m ^(«m - —)

m

<

^ 2 ^T^m +— 2 ^T^m - —)

а оценка СПМ:

(5.95)

2 Ш

S<) = — j Я(т) —0 1 + cos —т т V V m )) cos

(сот)с1г

Графики функций (5.93) и (5.94) приведены на рисунке 45. Боковые экстремумы здесь того же порядка, что и у оценки Хэмминга, хотя погрешности оценивания меньше.

y = 0.75—^ + T

(5.96)

¦jF R(т)cos(—

т

2

Y2=(095+а25))Ь C?<-

2—т

1

т

> т

g(< )

2—т„

1

- т„

m

Рисунок 46 - Корреляционное и спектральное окна Тьюки

Окно Парзена /4/ во временной и частотных областях определяется соотношениями:

Л Л3

г

т

f Y

m

т

+ 6

т <

1 - 6

т

V m у

т

V m

2

< т < т , 2 11 m

hiz) =

m

f I I V

т

1т

V m у

0, т > т

m

4

. т

sin— а

4

(5.97)

т

m

-а

g (а) = 4т

4

С помощью этого окна синтезируется спектральная оценка с наименьшими боковыми максимумами (менее 0.2 % основного экстремума), хотя по своим метрологическим характеристикам она и уступает оценки Тьюки.

Спектральные оценки без боковых лепестков и более высокими метрологическими показателями по сравнению с рассмотренными могут быть получены при использовании корреляционного окна /7/

(5.98)

h(j) = I AkQk(т): k = 0

где Ак - параметры окна (коэффициенты разложения);

q - порядок окна;

Qk(т) - базисные функции.

В качестве базисных функций, отвечающих требованиям:

отсутствие «отсечки» во временной области, типичных для всех рассмотренных выше окон и неизбежно ведущей к появлению боковых максимумов;

каноническая структура, в силу которой организация окна более высокого порядка производится простым добавлением к имеющемуся окну необходимого количества членов суммы.

В качестве таких функций в /7/ предложены следующие:

Qk (т) = е-;

вт (k +1)

Qk (т) Qk (т)

(5.99)

= е-втИ е k! = е- (k = 1)вт

k

Параметры Ак корреляционного окна выбираются в ходе процедуры оптимизации /7/, который может производиться на основании одного из следующих критериев:

минимума среднеквадратической погрешности оценивания;

минимума интегральной среднеквадратической погрешности;

абсолютной безлепестковости получаемых оценок СПМ.