3.1 Методы оценки одномерных моментных характеристик
Простейший одномерной моментной характеристикой стационарного случайного процесса X(t) является начальный момент первого порядка, называемый математическим ожиданием mx = M [x (t)].
Для получения оценки mx математического ожидания используется преобразование вида
mx = M [x (t)], (3.4)
л
где M [.] - оператор усреднения.
В зависимости от вида этого оператора оценки математического ожидания будут обладать различными свойствами.
Наибольшее применение на практике получили следующие операторы усреднения:(3.5)
(3.6)
M1 [X (t )] = - Z X (kA)
n k=1
M 2 [X (t )]=T ] X (t )dt,
(3.7)
M3 [X(t)]=!h(T)X(t — T)dt.
T_ A
где Т - время измерения (длительности реализации); А - шаг дискретизации во времени сигнала X(t); n =
Оператор усреднения вида (3.5) технически может быть реализованы или цифровыми интеграторами, или цифровыми вычислительными машинами. Для определения погрешностей оценки математического ожидания при помощи этого оператора обратимся к формулам (3.2), (3.5). В результате получим
=0
Гс
(3.8)
dx
nn
(39)
Y
i
C1
{{k — v)A}
m
n 1 = v=
здесь d и p (т) соответственно среднеквадратическое отклонение и
^ x ' x
нормированная автокорреляционная функция процесса. Так как
in | n-1 I
n Px (0) + 22 (n - m) p (m—) J < 2n 2 px (m—) < 2n*k,
m=1 J m=0
где тк = Jp (T) dT - интервал корреляции процесса X(t), то из
т
выражения (3.9) с учетом того, что n = —, получим
Г
Y T. (3.10) При использовании оператора (3.6), который технически может быть реализован аналоговыми интеграторами, погрешности оценки математического ожидания будут следующими: У„ = °> (311) Уст 2 =fjj-р j j p. -2 jjPx FT - t2)dt1dt2 _ J (т-T) p (t)dt<—2 JPx (T)| dt = т т 00 т 0 т 0 (3.13) С учетом этого из формулы (3.12) находим У < 42 j*.. / СТ 2 ^Ут Из сравнения первых двух операторов видно, что при одинаковой длительности реализации они дают оценки с одинаковыми метрологическими характеристиками. Что касается технической реализации этих операторов, то следует отдать предпочтение первому, поскольку он, при прочих равных условиях, позволит обеспечить аппаратную погрешность. К недостаткам этих операторов следует отнести невозможность производить непрерывную оценку математического ожидания: результат оценки выдается дискретно, через интервалы времени длительностью менее T. Рассмотрим теперь свойства третьего оператора усреднения. Как следует из уравнения (3.7), техническая реализация этого оператора сводится к построению фильтра с импульсной переходной характеристикой h(T). Из соотношений (3.7) и (3.3), (3.4) находим, что оценка математического ожидания, определяемая с помощью этого оператора, будет смещена. Величина погрешности от смещенности будет равна усъ = J h(r)dr — 1. (3.14) 0 Таким образом, погрешность о смещенности зависит от вида функции h(r), а также от времени изменения t. В установившемся режиме работы фильтра (f> 0 отсюда видно, что если выбрать импульсную переходную t характеристику h(r), удовлетворяющую условию J h(r)dr = 1, то погрешность 0 от смещенности в установившемся режиме работы фильтра можно сделать равной нулю. В неустановившемся режиме работы погрешность от смещенности принципиально всегда будет иметь место. Поэтому при использовании оператора (3.7) результат измерения необходимо получать не раньше, чем закончится переходной период. В этом случае погрешностью от смещенности можно пренебречь, а время между началом анализа и моментом получения результата может быть определено из уравнения (3.14). Наиболее простая техническая реализация оператора (3.7) получается при т h(r) = —exp To. (3.16) T 0 Нетрудно видеть, что фильтр с импульсной переходной характеристикой (3.16) есть фильтр нижних частот первого порядка. т Yc 3 = 1expTo. (3.17) T0 это соотношение при заданных ограничениях на Т0 позволяет определить время t, по истечении которого возможно выходной сигнал фильтра принимать в качестве оценки математического ожидания входного сигнала. Что касается статистической методической погрешности при применении оператора (3.7), то с учетом (3.2), (3.4) и (3.7) в установившемся режиме она будет равна Гст3=42dy IJ h(T) px (r)dr. \m\ v о GO Так как с учетом (3.16) J h(т) p (т)dT <т, то T 1 о Yc = 42 d T. (3.18) тЛ то Сопоставляя выражение (3.18) с выражением (3.10) и (3.12), приходим к выводу, что если выбрать постоянную времени фильтра нижних частот T0=T, то все три рассмотренные оценки будут идентичны в смысле обеспечения одинаковых величин погрешности от смещенности математических ожиданий. Но при прочих равных условиях последний оператор требует большего времени анализа. Однако, когда необходимо получать непрерывную оценку математического ожидания, ему часто отдают предпочтение. Затем также, что последний оператор является самым простым в технической реализации. Теперь, когда рассмотрены способы оценки математического ожидания, т.е. начального момента первого порядка, нетрудно перейти к способам оценки начальных моментов любого порядка. Напомним, что начальным моментом k-го порядка стационарного случайного процесса является величина ak = M [ Xk (t)]. (3.19) Эту величину можно интерпретировать как математическое ожидание стационарного случайного процесса Xk (t). Но показано, что для оценки математического ожидания стационарного случайного сигнала применим оператор усреднения. Отсюда следует, что в качестве оценки начального момента k - го порядка можно взять величину Л Л ak = M [ Xk (\t)], (3.20) где в качестве оператора усреднения возможно использование любого из операторов (3.5) - (3.7). При этом погрешности от смещенности оценки ak будут определяться теми же формулами, что и погрешности от смещенности оценки математического ожидания. Что касается статистических методических погрешностей, то формулы (3.10), (3.12) и (3.18) можно применить, если в место ( и mx подставить соответственно среднеквадратическое отклонение и математическое ожидание процесса Xk (t). Строго говоря, в этих формулах следовало бы заменить интервал корреляции процесса X(t) на интервал корреляции процесса Xk (t). преобразование процесса X(t), то его спектр не может быть уже спектра процесса X(t). А поскольку эквивалентная ширина спектра мощности однозначно связана с интервалом корреляции соотношением неопределенности —ЮС *тк = const, то интервал корреляции процесса Xk (t) будет не меньше интервала корреляции процесса X(t). Поэтому в формулах (3.10), (3.12) и (3.18) сохранить тк, то неравенства только усилятся. Другими словами, пользуясь предложенной методикой, эти формулы будут давать завышенные значения статистических методических погрешностей оценок начальных моментов. Но зато такая методика избавляет от необходимости априорного значения двумерной плотности распределения процесса X(t). Техническая реализация алгоритма (3.20) будет требовать применения блока усреднения и функционального преобразователя, возводящего анализируемый процесс X(t) в степень k. К центральным моментным характеристикам относятся величины juk=M[{{) - м [ X (t )]}k ]. (3.21) Формула (3.21) отличается от (3.19) тем, что под знаком математического ожидания вместо процесса X(t) стоит центрированный процесс X (t) = X (t) - м [ X (t)]. Для получения оценки величины j используем то же прием, что и для получения оценки начального момента ак, т.е. в выражении (3.21) осуществим формальную замену характеристики j k на ее оценку и оператора математического ожидания на оператор усреднения. В результате получим л л k (3.22) jk = м [{X (t)}k ], л где X (t)=X (t) - M [X (t)], по смыслу, - оценка центрированного случайного процесса X(t). л Оценка центрального момента цк обладает тем специфическим свойством, что она принципиально всегда смещена. Действительно, если в качестве оператора усреднения взять идеальный оператор, не вызывающий смещенности (например, (3.5) или (3.6)), то будем иметь несмещенную оценку центрального момента k-го порядка процесса х (t). л л o О О л o к X(t) * X(t) , то Ml * цк, ибо M[{X(t)}k ] *M[X (t)]. л Причиной возникновения погрешности от смещенности оценки цк л О О является отличие процесса X(t) от X(t) из - за невозможности точного л o л выполнения операции центрирования X(t)=X(t) -M[X(t)] (для точного л центрирования необходимо обеспечение условия M [ X (t)] = mx, что принципиально недостижимо вследствие случайного характера величины л M [ X (t)]). л Погрешность от смещенности оценки цк с учетом соотношений (3.22) и (3.3) равна = M [{X (t) M [ X (t )]}k ]-ik (3 23) Y = l Из выражения (3.23) видно, что при прочих равных условиях, для уменьшения погрешности от смещенности необходимо получать как можно л более точную оценку M [ X (t)] математического ожидания процесса X(t). Что касается статистических методических погрешностей, то они могут быть вычислены по тем же формулам, которые применяются при оценке начальных моментов процесса X(t) соответствующего порядка. Техническая реализация алгоритма (3.22) будет отличаться от реализации алгоритма (3.21) лишь добавлением в качестве входного блока соответствующей аппаратуры блока центрирования. Сложность блока центрирования и возможности его практического использования целиком и полностью будут определяться видом оператора, применяемого для оценки математического ожидания процесса X(t). Наибольшие сложности будут встречаться при использовании операторов вида (3.5) и (3.6). Применение этих операторов для центрирования, кроме того, будет приводить к существенному увеличению длительности реализации анализируемого процесса. Поэтому, чтобы обеспечить простоту технической реализации и оперативность анализа, целесообразно применить оператор вида (3.7). В этом случае центрирование процесса, как следует из выражений (3.21) и (3.7), сведется к выполнению операции Л X (t) = ]{S{t)—h(r)]X (t-T)dT, (324) 0 где S(z) - дельта - функция. Видно, что эта операция может быть выполнена фильтром с импульсной характеристикой S(T) — h(z), на вход которого подается анализируемый процесс. Если, например, функция h(z) выбрана в соответствии с выражением Tp (3.16), то такой фильтр будет иметь передаточную функцию ——, то есть Tp +1 являться простейшим фильтром верхних частот. Кроме начальных и центральных моментных характеристик составляющих объекта исследования, иногда ставится задача и определения некоторых функций от них. s = i — 3 (3.25) i2 и коэффициент асимметрии 1 3 1 KA = (326) Способы оценки этих характеристик могут быть получены формальной заменой характеристик их оценками, т.е. s = -i4Y — 3, (3.27) (3.28) В заключении отметим, что для получения малых погрешностей от смещенности оценок функций моментных характеристик необходимо стремиться обеспечить малые погрешности от смещенности оценок самих моментных характеристик. То же самое относится и к статическим методическим погрешностям. При использовании одинаковых операторов усреднения статистическая методическая погрешность оценки функции моментных характеристик будет равна где С - коэффициент, величина которого зависит от вида оцениваемой характеристики и закона распределения анализируемого процесса. Т=Т или Т0 в зависимости от того, какой оператор усреднения применен: (3.5), (3.6) или (3.7).
