7. Реализация неявных разностных схем.
Отыскание решения разностного уравнения сводится к решению алгебраического или трансцендентного уравнения. Часто это уравнение решается методом итераций.
Итерационный процесс вычисления yn+k по формуле (18) может быть представлен в виде:
, (95)
, 1, 2,…,
или
, (96)
, 1, 2,…,
Начальное приближение yn+k(0) может быть выбрано различными способами.
Например, можно положить yn+k(0) = yn+k-1. В качестве начального приближения можно взять значение, полученное по явной разностной формуле. В таком случае явная формула называется предсказывающей (или предиктором), неявная формула —исправляющей (или корректором), а весь комбинированный процесс называется предсказывающе-исправляющим методом, или методом прогноза и коррекции (или методом предиктор-корректор).Количество итераций n, которое необходимо выполнить, зависит от величины шага интегрирования, степеней явной и неявной формул, требуемой точности решения неявного уравнения. Если степень предсказывающей формулы меньше степени исправляющей формулы, то каждая вновь выполняемая итерация (95) или (96) увеличивает порядок точности очередного приближения на единицу до тех пор, пока не будет достигнут порядок исправляющей формулы. Для того чтобы точность приближенного решения 
определялась степенью неявной формулы, число итераций должно быть не меньше разности степеней неявной и явной формул.
Если интерполяционный метод Адамса использовать в разностной форме (70), то итерационный процесс строится с помощью соотношения:
. (101)
В этом случае для начала итерационного процесса необходимо задать начальные приближения для конечных разностей. Например, пусть
,
и тогда по формулам составления конечных разностей:
, 
, 
,…,1, (103)
можно вычислить все разности, входящие в (101).
Итерационный процесс повторяется до тех пор, пока в пределах заданной точности не установятся приближения . На каждой итерации переопределяются конечные разности по формуле:
, , ,…,1. (104)
Формулу (101) можно преобразовать к другому виду. Воспользовавшись формулами (73), (74) и (104) можно выразить:
.
Подставив полученное выражение в (70), можно получить
. (105)
Обозначая Pn+1 приближение к yn+1, полученное по явной формуле Адамса (53):
,
формулу (105) можно представить так:
. (106)
Тогда итерационный процесс принимает вид
. (107)
Формула (107) более удобна для счета по сравнению со (101), т.к. здесь не требуется пересчитывать конечные разности на каждой итерации. Конечные разности вычисляются только один раз после окончания итерационного процесса.