7.4. Метод Рунге-Кутта 4 порядка.

На практике наибольшее распространение получил метод Рунге-Кутта 4-го порядка, в котором усреднение проводится по трём точкам, формула Эйлера на каждом отрезке используется 4 раза: в начале отрезка, дважды в его середине и в конце отрезка.

Расчетные формулы метода для дифференциального уравнения (7.3) имеют вид:

, (7.8)

где i = 0, 1, …., n-1 - номер узла;

xi = a + i?h - координата узла;

у0 = у(х0) - начальное условие.

Погрешность метода dМ = О(h5).

Схема алгоритма решения ОДУ методом Рунге-Кутта 4-го порядка отличается алгоритмом расчёта новой точки (Рис. 7.5).

Пример 7.4. Решение ранее рассмотренного уравнения (пример 7.1) методом Рунге-Кутта 4 порядка.

y’ - 2?y + x2 = 1, x Î [0;1], y(0) = 1.

Пусть n = 10 , h = (1 - 0)/10 = 0,1.

Начальная точка x0 = 0, y0 = 1.

Рассчет первой точки.

Сначала вычислим значения C0, C1, C2, C3:

Вычислим значение y1:

Аналогично можно вычислить значения функции во 2, 3, ... , 10 точках.

Рис. 7.7. Схема алгоритма расчета новой точки методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

Общая характеристика методов:

1. Все методы являются одношаговыми, то есть для вычисления значения функции в новой точке используется ее значение в предыдущей точке. Это свойство называется самостартованием.

2. Все методы легко обобщаются на системы дифференциальных уравнений 1-го порядка.