Из прошлого пятой киигн "Начал" Евклида.

Математическое образование, 1916, № 7, с. 255-263; № 8, с. 277-289.

Как только дробь становится числом, результаты 7-й книги начинают толковаться в обобщенном виде. В пропорции a:b=c:d а, Ь, с, d могут оказаться ие только целыми числами, но и дробями.

Евклидовых "Начал" восемь книг., пер. Ф. Петрушевского, Спб. 1819. [пер. Мордухай-Болтовского. М. 1950]

Более подробно об этом см. ниже.

О пр. 3 5-й книги: "Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству", (пер. Мордухай-Болтовского). Прим. ред.

"Совмещающиеся друг с другом равны между собой" (по изд. 1950г. - 7-я аксиома). Прим. ред.

4 Аксиома параллельных (по изд. 1950 г. - 5-й постулат). Прим. ред.

7 Все теоремы относятся к 5-й книге. Прим. ред.

s Табличка эта значительно продолжена классами:

a:b>c:d-^c:dc:d-^a:c>b:d, a:b>c:d-^a + b:b>c+d:d, и т.д.

В изд. 1950 г. Мордухай-Болтовской отбрасывает оба варианта как не-подлинные. Прим. ред.

Euclid's Elemente funfzhen Bucher ubers. J. Lorenz Halle. 1840.

Euclides elementorum Libri XVI Auctore Christophoro Clavio. Trancofurti Auno MDCLIV.

Из неравных линий, неравных поверхностей или неравных тел, если избыток большего перед меньшим будет совокупляем сам с собою, то он может превзойти всякую предложенную величину из рода тех, кои взаим ио сраві шваются.

Творение Архимеда. Две книги о шаре и цилиндре. Пер. Ф. Петрушев- ского. Спб. 1823. С. 5. [Архимед. Соч. М. 1962.]

Прим. 4 на стр. 187. "Начала" Евклида. М. Е. Ващенко-Захарченко. Киев. 1880.

Этим определением Евклид хочет показать, что сравниваемые величи-ны должны быть однородны, например, длина и длина, площадь и площадь и т.д.

Отношение друг к другу имеют величины, которые, взятые кратно, могут друг друга превзойти, (нем.) Близкий перевод дает сам Мордухай- Болтовской в изд. "Начал" 1950 г.: "Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга". Прим. ред.

Jacobi Peletarii. Medici et Matliematici. Commentarii fres... Basileae, см. мою статью: Философско-математические идеи XVI века. Cantor. Vorlesungen ueber Geschichte der Matheraatik. В. II. S. 565.

" Ближайшим родом (лат.). Прим. ред. Исправленный Евклид (лат.). Прим. ред.

№ Arzet. Clavis Matliemalica. 1634.

14 Ozanam. Cours de Mathematiques. 1720.

Taquet. Elementa Geometriae. 1654.

Euclides restitutus etc. a Alp. Borelio. Romae. 1670.

Euclides ab omni naevo vindicatus... auetore Hieronymo Sacchero, Mediolarni. 1738, см. также Engel-Stackel. Die Theorie der Parallellinien. Leipzig. 1875.

"Некоторая" (лат.). Опр. З 5-й книги: "Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величии по количеству". Прим. ред.

Определенно 20-е 7-й книги: "числа называются пропорциональными, когда первое второго, а третье четвертого суть равнократные, или равночастные, или равномпогочастные". Евклид. "Начал" три книги в пер. Петрушевского. 1833.

Taquet. Elementa Geometriae planae ас solidae etc. Antverpiae. 1654.

L'art de penser. А. Арно, П. Ншсоль. Логика или искусство мыслить. М. 1991. Прим. ред.

Dechales. Elementorum Euclidis Libri Octo ad faciliorem captum accomodali aucthore P. Claudio Francisco Milliet Dechales Cambericus Soc. les. Lugundi MDCLXXV.

-s Интересно сравнить теорию Таю с теорией Саньо д' Овидио, в которой роль равенств (*) играют

піа = тіЬ + аі aj njC^Pjd + Cj Cj mj =Pj-

Рассел, Пеаио.

Arnaldus. Nouveaux elements de Geometrie. Paris. 1683, (анонимно, как его пор-роялевская логика).

Здесь можно отметить более грубый способ уже не сократить, а отделаться от 5-й книги, относящийся к этому времени. Это Euclidis elementorum sex libri Henrici Coetsii.

Вне сомнения, в связи с арифмегизацией геометрии в XVII веке находится и онтологическая проблема, о которой велся спор между Арно, стоявшим на точке зрения Декарта, и Мальбраншем, шедшим дальше его. Это проблема вроде схоластической "universalia in ге" или "ante rem" [универсалии в вещах или до вещей (лат.)] сводится к вопросу: numerus ante rem numeratam ant in re іштега(а?[числа до перечисленных вещей или в перечисленных вещах (лат.)] В переводе на математический язык: дается ли число счетом или число следует понимать общее. Решение вопроса в последнем смысле приводит к признанию относительных величин Арно за числа.

I

Т.е. части вида —, где п - целое. Прим. ред.

Конечно, в основании этого доказательства те идеи, которые лежат в основе метода исчерпывания Евклида (см. 12-ю книгу: 2, 5, 10, 11, 12 предложения).

Величина как род, величина вообще (лат.), Прим. ред.

33 De la Caille. Lectiones elementares matliematicae Seu elementa Algebrae et Geometriae. 1762.

Количество пли величина (лат.). Прим. ред.

Искусство открытия (лат.). Прим. ред.

36 Herigonus. Cursus mathematicus nova etc. Paris. MDCXXXIV.

Descartes. Geometrie. Liv. I.

Интересно проследить влияние, оказанное картезианской философией на арифметизацию геометрии. После сведения материальной вселенной к "mtindus geometricus", к движущимся геометрическим фигурам в пространстве, объявив все остальное иллюзией, оставался только один путь - к Мальбраншу и Беркли, к признанию только одной ре- альности - духа. Вместе с тем число, как принадлежность духа, неза-висимая от опыта в материальной вселенной, переводится на высшую, в сравнении с пространством, плоскость существования. Malbnmsclie.

Перевод Мордухай-Болтовского в изд. 1950 г.: "Говорится, что отношение составляется из отношений,.когда количества этих отношений, перемноженные между собой, образуют нечто". Прим. ред. "Начала" Евклида. Ващенко-Захарченко, стр. 214. Равноугольные параллелограммы имеют друг к другу составное отношение сторон. Прим. ред.

См. об относительном умножении отношений, напр. Кутюра. Философские принципы математики, стр. 29. D. Vitale, Euclide restitulo. Roma. 1680.

Bmnschwigg. Les etapes de la philosophic mathematique. Paris. Alcan. 1912, p. 47.

48 Rivard. Elements de Mathematiques. Paris. 1788. 59 L. Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des Mathematiques prise dans toute oson etendue. A Geneve. 1778.

Legendre. Elements de geometrie.

Учебники лежандровского типа: Gamier, Vincent, Terquem, Sonnet, Dupin, Fournier, Nicollet, Pascal, а также позднейший Rouclie et Coniberousse.

Lacroix, Elements de Geometrie a l'usage de l'Ecole Centrale des Quatre nations. Paris. 1814.

A. Sannia ed E. D'Ovidio. Elementi di Geometria ad uso dii Gimnasii e degli Instituti Tecnici. Napoli, 1916.

34 G. Veronese. Elementi di Geometria ad uso dei Gimnasi e instituti tecnici. Padova. 1911, parti 1, t. II. См. также геометрич. учебники Энрикеса и Амальди, Инграми, де Наолиса и т.д. 55 Гурьев. Основания Геометрии. Спб. 1825 и другие его сочинения.