§ 3. Метод наложения у Евклида.
Большим диссонансом с общими тенденциями "Начал" представляется метод наложения при доказательстве первого случая равенства треугольников, если этот метод понимать так, гак мы обычно его понимаем.
Здесь не мы имеем идеальное существование начерченных геометрических фигур с идеальным их перенесением с одного места на другое, [как обычно считают].
Но мне представляется, что как мы, так и целый ряд предшествую-щих поколений, совершенно неправильно здесь понимают Евклида.
Положения 2 и 3, предшествующие положению, доказываемому наложением, наводят на мысль, что сам Евклид здесь вовсе не разумеет наложение в нашем лежандровом смысле.
Положение 2-е:к Из данной точки А провести прямую, равную данной прямой ВС.
Почем)' Евклид не делает так, как мы делаем и как рекомендовали это делать некоторые авторы XVII века17: проведя через А какую-нибудь прямую, не переносят в нашем смысле отрезок ВС?
Почему он не может сделать с одним отрезком то, что в четвертом положении он делает с целым треугольникам'!
Отвечу: потому что он ие признает в нашем смысле перенесения, потому что то, что мы считаем перенесением идеального треугольника, - для него является построением тождественного данному треугольника в ином месте, чем он задан.
Евклид строит иа АВ, на основании первой теоремы "Начал", равносторонний треугольник ABD, из В описывает радиусом ВС окружность до пересечения с b в G; из D описывает радиусом DG окружность до пересечения с AD в К.
Если бы мы желали "перенести" ВС на определенную прямую AL, проходящую через L, то пришлось бы описать еще третью окружность радиусом АК до пересечения с AL в L (согласно предл. 3) .Наложение DEF на ABC представляет:
построение на АВ отрезка, равного DE, начиная с А,
проведение другой прямой под тем же наклонением к АВ, что АС (согласно 8-му определению - угла), откуда следует, что DF пойдет по АС и
построение отрезка, равного DF иа АС.
откуда следует, что F совпадет с С. Легко видеть, что в этот момент, т.е. при заключении, что соединение точек Е и F прямой, т.е. построение третьей стороны EF дает АВ, должен возникнуть скачок. Софист возразит: "Я позволил от одной точки к другой провести прямую, но откуда мы знаем, что в одном случае получится одна, а в другом опять та же прямая?". Здесь становится необходимым подчеркнуть еще одйо общепризнанное положение - 12-ю аксиому: "Две прямые не могут заключать пространства"".Идеальное существование геометрических объектов - плод схола-стического реализма20. Такое существование за ними закрепилось и в математической мысли XVI века. Математик XVI века понимает наложение уже в нашем смысле и обнаруживает тенденцию пользоваться им шире, чем Евклид.
У Клавия мы находим разновидность этого метода, чуждую Евклиду.
Верный духу своего времени, Клавий2' заменяет косвенное доказательство теоремы 6 1-й книги (обратной elefuga) прямым наложением Д АСВ на Д ABC (ZB = ZC), так. что треугольник подвергается мыслеп- ному раздвоению. Вместе с тем эволюционирует и само понимание равенства22 . Это уже не равенство количества, по нашему равновеликость, а тождество форм и размеров; равные фигуры - это тождественные фигуры, помещенные в различных местах.
Аксиома 8-я обращается; наложимость является и достаточным и необходимым условием равенства.
На первый взгляд может показаться, что если Аристотель и Евклид ие могли бы признать наложение с переносом идеального треугольника, то такая операция могла бы оказаться во вкусе Платона, объектиро- вавшего идеи и геометрические формы. Видимо, Цейтен23 так и думает, Он говорит, что математические истины древним представлялись или как теоремы, или как проблемы. Первая точка зрения поддерживалась последователями Платона, думавшими, что проблема только устанавливает то, что уже предварительно существовало, независимо оттого факта, строится оно или нет, более того, построить что-либо, например, разносторонний треугольник, можно только потому, что идея равностороннего треугольника имеет существование, предваряющее всякое построение.
Вторая точка зрения у учеников Евдокса; для них существенное - обнаружение истины построением.
В "Началах" Евклида Цейтен видит примирение этих точек зрения, Но для того, чтобы Платон и его ученики понимали геометрию так. как понимал ее, например, Декарт, для этого мало ему было признать иде-альное существование геометрических фигур в каком-то другом мире, (ТОТГОЕ, VOT]TO?)W том мире, бледным отражением или тенью которого является настоящий. Необходимо было признать их в этом мире, в самих вещах. При методе наложения переносится не платоновский идеальный треугольник из другого мира, а на этот, первый тот второй; треугольник и не материальный, а идеальный, который., так сказать, живет в первом.