§ 4. Рационалисты против метода наложения.
С развитием рационалистической25 логики и гносеологии, философы и ма-тематики XVII века становятся в явно враждебное отношение к этому методу доказательства. Этот метод, по их мнению, убеждает с помощью обращения к чувствам, а не к чистому разуму, который только один и является судьей.
Первый случай конгруэнтности доставляет много хлопот.
Мы видим рад попыток замены обычного доказательства наложением - другим, без этой "механической операции", столь противной складу рационалистической мысли.В "Элементах Евклида" Дешаля к евклидово доказательство 8-й теоремы I книги "Начал" предваряет другое, про которое, впрочем, и сам автор говорит; "В виду того, что это доказательство не представляется убе- дительиым, привожу также и обычное (т.е. наложением). В своем доказательстве Дешаль старается убедить, что расстояние между тачками двух пересекающихся прямых может зависеть только от угла между ними и расстояния этих точек от вершины угла.
Томас Симпсон относит первый случай конгруэнтности к аксиомам совершенно также, как Гильберт27,который в группу аксиом конгруэнтности вводит: Illj. Если для двух треугольников ABC и А 'В' С' нмеюг место конгруэнции
AB = A'B',AC = A'C',ZBAC = ZB'A'C' то всегда имеют место и конгруэнции
ABC = А'В'С', АСВ = А'С'В'
Арно вводит новую аксиому: если две точки прямой равно отстоят от двух точек А и В, то то же относится и ко всем другим точкам прямой. Цель ее введения - не только установка арнольдианского порядка18, но и освобождение от метода наложения, что достигается Арно тем, что ему приходится пользоваться наиболее простым положением., относящимся к равенству прямоугольных треугольников, избегая слова "треугольник", а именно положением о равенстве прямоугольных треугольников, у которых катеты равны, кис чем-то вроде более низкой степени очевидности аксиомы с объяснением, повышающим эту степень21'.
Еще в XVI веке делают опыты построения доказательств равенства треугольников без метода наложения.
Доказательство Кандалы30 первого случая конгруэнтности треугольников, критикуемое Савшшем, состоит в следующем. Так как по предположению в треугольниках а[3у, 6е? прямые ар и 8е равны, то равны и
расстояния точек (а и Р) и (8 и є).
(Здесь Кандала берет определение прямых Прокла, которое последний считает эквивалентным евклндовскому, а именно, что прямая линия между двумя точками равна их расстоянию).С другой стороны, прямые (afj,ay ) и (8є,6С)> как содержащие равные углы, согласно восьмому определению Евклида31 равнонаклоиеи- ны. Так как равенство углов зависит от равенства наклонений, то следует,
что (Р и у) и (є nQ находятся в тех же расстояниях. Поэтому и прямые Руиеу равны. Но если отдельные элементы (qualilates) треугольников аРу, 81;^ соответственно равны, то ефу и равны по восьмой аксиоме. Поэтому и остальные элементы равны, т.е. углы р и У соответственно равны s н С,12. Не будем останавливаться на критике Савилня, смотрящего иа это доказательство как на неубедительное, как основанное иа положениях не более очевидных, чем доказуемое. Заметим только, что из защиты Сави- лия метода наложения видно, что при выработанной схоластическим реализмом объективации геометрических форм операция наложения сперва не представляется недопустимой. Идеальный треугольник переносится ие в действительности, так как его нельзя взять в руки, но только в воображе-нии.
По Савилию.33 это вполне возможно в теореме (но не в проблеме), так как в теореме не требуеся никакого действия, требуется только обнаружить истинное или ложное, и нет ничего ложного в том перенесении, которое делаем только одним воображением, а не руками пли операцией, упот-ребляемой при построении.
К невозможности перенесения приводит лишь дальнейшее размышление об идеальных объектах, которые обявляются не только не ощущаемыми, ио в собственном смысле и не воображаемыми.
Все действия над воображаемыми фигурами представляются как действия не над идеальными фигурами, а образами материальных тел.
Геометрия, наконец, объявляется возможной без чертежа не только конкретного, но и воображаемого.