Из истории метода наложения в элементарной геометрии

Математическое образование, 1928, JVa 3, с. 107-113.

На русском языке: евклидовы "Начала", восемь книг, пер. Ф. Петру- шевского, или "Начала Евклида" в пер. Ващенко-Захарченко.

Legendre. Elements de Geometrie, Paris, иеск. изд., напр. 1837. Русское издание в переводе Баландина и Бунтац: Лежандр. Основание геометрии и тригонометрии Спб, 1837; в другом издании: "Элементарная геометрия Лелеандра", Спб. 1879, переработка Blanchet Legendre. Elements de Geometrie, 1813. Серьезная методическая переработка Лежандра- Lacroix. Elements de Geometrie a l'usage de Гесоїе Centr,, Paris. 1814. Этот учебник лежит в основе всейучебной литературы лежандрова типа.

Это доказательство вошло в употребление значительно раньше "Элементов" Лежандра; см.: например, Coeti. Euclidis elementorum sex libri priores, 1697; "Элементы" Лежандра, кн, I, пред. XII.

"Начала" Евклида, кн. I, пред. VII. "Элементы" Лежандра, кн. I, пред. X. В учебнике Киселева вместо медианы проводится биссектриса ("Элементарная геометрия", Москва, 1914, стр. 27, §38). Таким образом, третий случай равенства общего типа треугольников заменяется первым случаем равенства треугольников; причем, теорема доказывается непосредственно наложением. Конечно, и это доказательство недопустимо с евклидовой точки зрения.

3 Legendre - Blanche!, Liv. 1. Prop. X (см, Давидов); у Legendre'a изд. 1837 теорема доказана иначе.

Aristotelis. Metaph. Lib. IX, стр. 9. Aristotelis. Opera omnia graece el latine, изд. Didot. [Аристотель Соч. в 4 Т. T.l. М. 1976.]

Шопенгауэр. Мир как воля и представление. Пер. Фета. Т, I, § 15,

8

л

А

Очевидность как критерий истинности.

Аналитика Аристотеля. Есть французский перевод. Dernieres Analitiques. Logique d' Aristote trad, par Barthelemy Saint-Hillaire, 1842. О логике Аристотеля см. новую книгу: Ziehen. Lehrbuch derLogik, Bonn. 1920. Bd. 1, § 9.

Euclides-Heiberg. S. 9. 5 постулатов (пятый - о параллельных, иногда относится к аксиомам - II аксиома.

11 О постулатах Евклида см. Hauber. Christomatia Geometrica. Tubingen. 1820. § 127; также Savillus. Praelectiones tredeciin Oxoniae, 1820; см. также Brunschwigg. Les etapes de la philosophie inathematique. Paris. 1912, стр. 89. Les postulats. Там же библиография. [Декарт. Соч. в 2 Т. Т. 1. М. 1989.] [Аристотель. Соч. в 4 Т. Т.2. М. 1978]. 13 Понимание постулата Кантом в логике родственно евклидову. Постулатом, говорит Кант (Логика I, 2 отд., § 38), называется практическое непосредственно-очевидное положение или принцип, определяющий

возможное действие, в котором подразумевается, что способ его выполнения непосредственно очевиден.

Savilli. Praelectiones. О Савилли (1549-1622) см. Cantor. В. II, S. 664, р. 131, также Kastner, 1,249, III, 19-26; Ball. History of mathematics at Cambridge, p. 29.

Hobbes. DeCorpore, ch. VI, S. 13. Lond., 1839, p. 72. [Гоббс.Избрашше произведения. M. 1964.1 Brunschwigg, неправильно считая определения Евклида номинальными, считает, что цель постулатов - придать им реальное значение, и в этом смысле неправильно понимает и Гоб- бса.

Brunschwigg. Les etapes etc. Liv. II. ch. VI, p. 91. О постулатах и аксиомах см. также Кэджори. История элементарной математики. Одесса, 1917, где приводится резюме доклада Vailati, напечатанного в Verhandluingen der dritten intern. Math. Kongress in Heidelberg 1904; см. также Tannery, La Geometrie grecque.

Например, Arzet. Clavis Matliematica, 1635.

Euclidis - Heiberg, vol.

Прим. ред. / Y\

19 Этим наложением Евклид в предл. 4 1-й книги / \ \

доказывает равенство треугольников по двум / \\

сторонам и углу между ними ("первый случай / \ \

равенства треугольников" по терминологии ав- L ^

тора). Прим. ред. A(D) В(Е)

2(1 О схоластическом реализме см. Haureau. De la philosophic Scolastique, Paris. 1850.

й Euclides elemeutonim libri XV auctore Cliristophoro Clavio. 22 В теоремах о равенстве треугольников Евклид доказывает: а) равнове- ликость; б) равенство сторон и углов. Euclides-Heiberg, s. 17: "et triangulus triangulo aequaiis erit et reliqui reliquis aequales alter alteri".

[Треугольники будут равны друг другу и их элементы будут равны друг другу, (лат.)].

Zeuthen. Historic des Mathematiques trad. par. Mascart;. Paris. 1902, p. 72. [Цейтен. История математики в Древности н в Средние века. М,- Л. 1938.] Взгляды Платона - см. диалоги Тимей, Феяон, Республика, Федр, Критон. Аристотель - бесполезность идей: Met. II. 2. Et. I, 4; опровержение: Met I, 9 XIII, 4, 9 VII. 6. 13.

Brunschwigg. Les etapes. Liv. II. Ch. IV, p. 67 см. Zeller. Die pliilosopliie der Griechen, II. Teil. II Abh. Die Dialektik der Ideenlehre,

Умное место (греч.). Прим. ред.

О рационализме см. Bouillier. Historie de la pliilosophie cartesienne. 18141816. О логике Декарта см. Ziehen, 1.1 Cap. 2. § 23. Классическое сочинение по логике рационалистического направления. Арно. L'art de penser (пор-роялевская логика). [А. Арио, П. Николь. Логика, или искусство мыслить. М. 1991.]

24 MilletDechales. Elementoium Euclidis. Libri Octo Lugundi 1675. Claude- Fransois Millett-Dechales (1621-1678). Его же. Cursus sen Mundus geometricus, см. Cantor III 4-6, 15.

Гильберт. Основания геометрии (есть на русском языке). [М. 1948.]

Arnaldus. Nouveaux elements de Geometrie. Paris. 1683. - Арнольдиан- ские учебники: Varignon. Elements des Mathematiques. Amsterdam. 1734. Rivard. Elements de Mathematiques. Paris. 1750. Camus. Cours de Mathematiques. 1735 и многие другие XVIII века.

Об аксиоме Арно см.: Исследования о происхождении некоторых основных идей.., Часть: Аксиоматика XVII в. в наст. изд. Прим. ред.

Savilli. Praelectiones. Lib. X. p. 196.

"Плоский угол есть наклонение друг к другу двух линий, в плоскости встречающихся друг с другом, но не расположенных по одной прямой" (пер. Мордухай-Болтовского). Прим. ред.

Т.е. теорема сводится к утверждению о равенстве треугольников по 3-м сторонам, которое принято гак аксиома. Прим. ред.

Savilli. Praelectiones. Lib. IX, p. 170, p. I.