Философско-математические идеи XVI века.

Известии Донского университета, 1919, т. 2, с. 1-48.

1 L: Brunschwigg. Les etapes de la pliilosophie mathemalique. Paris, Alcan. 1912.

1 Выражение Амоса Каменского.

3 Cardani.

1 Искусство изобретать (лат.). Прим. ред.

5 Искусство доказывать (лат.). Прим. ред.

(> С. Waddington. Ramus, sa vie, ses ecrits et ses opinions. Paris. 1855. Также: M. Владиславлев. Логика. Обозрение индуктивных и дедуктивных приемов мышления и т.д. Спб. 1881.

В. Випдельбанд. История философии. Спб. 1898, стр. 358.

Самый общий род (лат.). Прим. ред.

Первичное (греч.). Прим. ред.

Небытие (греч.). Прим. ред.

!| Универсалии (лат.). Прим. ред.

Дыхательные звуки (лат.). Прим. ред.

Интересно отметить, что в XVII веке все три типа: определение, постулат и аксиома сводятся к одному: к аксиоме, тогда как в современную эпоху "формально-гипотетической" математики они сводятся к определению, (см. Пуанкарэ. Наука и гипотеза).

Главным моментом определения является не называние, а указание очевиднейшего, первейшего и известнейшего свойства объекта. Постулат и аксиома отличаются только тем, что первое относится к построению, второе к свойству.

Borelli. Euclides RestitiUus 1679. У других авторов эти понятия совпадают, и термин-постулат совершенно отпадает.

" Спиноза. Этика.

Rami. Dialecticae Libri Duo. 1586. Waddington. Ramus. 1855, p. 364.

Выдержки из старых алгебр и подробный исторический очерк см.: L. Mattliiessen. Grundzuge der Antiken mid modern Algebra. Der litteralen Gleiclumgen. Leipzig. Teubner. 1896.

Утверждение (фр.). Прим. ред.

Боэций 470-570. Boelhii In Porpliyrium, Isag I. VI, p. 86. Porph. Isag. III.

Abelard. Dialectica liber Divisionum et Defmitonum. Remusat. Abelard, Т. I, f. 439.

Комментарии Клавия помещены тоже отдельно от них же в собрании его сочинений.

Евклидовых "Начал" восемь книг.

Через род и [специфическое] различие (лат.). Прим. ред.

Petri Rami, Geometriae Libri XXVII. Basileae 1569. Sliolarum Matliematicanim Libri uiius et Iriginta. Basileae 1569. Francfurti 1569. Определение параллельных прямых, как прямых равноудаленных ведет свое начало с Геминуса и Посидония (1 в. по P. X.)

Параллельные линии суть линии везде равноудаленные (лат.). Прим. ред.

Определение 10 1-й книги. Евклидовых "Начал" восемь книг. Пер. Петрушевского, стр. 2.

Подобные прямолинейнык фигуры суть те, которые имеют углы равные по порядку и стороны при равных углах пропорциональные. Пер. с лат. Мордухай-Болтовского, М. 1950. Прим, ред.

Подобие же кругов и шаров понимается посредством соответствующих многоугольников с бесконечным числом сторон (лат.). Прим. ред.

Eucliclis elementorum Libri XV... auctoc Crist. Clavio. Francfiirti. 1654 (первое издание 1574). Прим. ред.

Постулат З I книги "Начал": "... из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг" (пер. Мордухай-Болтовского). Прим. ред.

В дальнейшем существование геометр, объек. - это отсутствие противоречия в определяющих его логических терминах.

Сравни Аристотеля: Est vero interrogantis, ita disputationem induere ut respondentem cogat maxime improbabilia dicere ex iis, quae propter thesin sunt necessaria. Respondentis contra est ne sua culpa videalur accidere absurduni, aut quod sit contra opinionem omnium, sed propter tlicsin. Aristoteles. Topicorum Lib VIII. Cap. IV. ["Вопрошающий должен так вести речь, чтобы заставить отвечающего говорить самое неправдоподобное, необходимо вытекающее из тезиса. Отвечающий же должен так вести речь, чтобы несообразное или противное общепринятом}' казалось получающимся не по его вине, а из-за тезиса". Аристотель. Топика, кн. 8; гл. 4. Соч. 4 Т. Т. 2, пер. Иткина. М. 1978.]

Alberti Dureri. Institutionum Geometricorum Lib. Lutetiae 1532.

Клейн. О преподавании геометрии. Вестник Опытной физики и элементарной математики.

Чертеж, схема (лат.). Прим. ред.

Точка есть то, что не имеет частей [ср, опр. 1 ки, I "Начал" Евклида]. Линия - то, части чего суть точки. Поверхность - то, части чего суть линии. Тело - то, части чего суть поверхности. Или ішаче: точка есть неподвижный момент, линия это движущаяся точка... также точка есть то, что не имеет ни одного измерения,., (лат.). Прим. ред.

Cantor. Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik В. I. 1907. § 73. Пселл (p. 1028 г.) известный средневековый логик, сочинение которого Eis TT)V. Арісгтотєіоо^ Ах>УІХЛУ---ИМЕЛО большое значение в средние века. Michaelis Pselli. Compedium Mathematicum aliaque tractatus eodem pertinens. Lugn. Bat. Exo fficine Elzeviorum. 1647. Gulielmo Xylandro interpretato.

Срав. определение Анариция: угол - количество, имеющее протяжение, границы которого сходятся в одной точке.

Т.е. любой отличный от треугольника многоугольник, который здесь рассматривается как составленный из треугольников. Прим. ред.

Т.е. любой отличный от пирамиды многоугольник, который здесь рас-сматривается как составленный из призм. Разбиение многогранника на пирамиды проводится аналогично триангуляции многоугольника. Прим. ред.

Пентаэдр - призма с треугольным основанием. Всякая другая призма может быть составлена из пентаэдров: разбиение призмы на пентаэдры находится во взаимно-однозначном соответствии с триангуляцией многоугольника, лежащего в основании призмы. Прим. ред.

Напр. Henrici und Tretlein.

п В учебниках XVII в. и XVIII в. Штурма [I. Sturmii Mathesis Iuvenalis] и Вольфа различаются три части элементарной геометрии: евтимстрия, или лоигиметрия, эпипедеметрия или планиметрия, и стереометрия. См. также: Аничков. Теоретическая и практическая геометрия. Москва. 1780.

13 Евклидовых "Начал" восемь книг Пер. Петрушевского. Спб. 1819, стр. 30.

Т.е. если угол ZABC равен /АДС, при равных основаниях АС и AjC,, то если Е внутри ABC, то ZAEC > ZA^C,.

Arnaldus. Nouveaux elemens de Geometrie.

Остроградский.

О линиях в круге (лат.). Прим. ред.

18 О сегментах круга, об списывании круга и труголышка, о вписывании треугольника (лат.). Прим. ред.

" Конус есть то, что содержится между конической поверхностью и основанием. Цилиндр есть то, что содержится между цилиндрической поверхностью и противоположными основаниями (лат.). Прим. ред.

Т.е. поверхности, образуемой движением прямой линии, (лат.). Прим. ред.

Varium это кривое тело, основание которого представляет собой обвод, а образующие - прямые [идущие] кругом от края до края по основаниям (лат.). Согласно данной выше классификации, gibbum - это вид тела, однако в данном случае фактически определяется поверхность этого тела, что и позволяет автору называть varium поверхностью. "Основаній в этом определении - это направляющие поверхности". Прим. ред.

Через род (кривое тело) и [видовое] отличие (сторона) (лат.). Прим. ред.

Цилиндр противополагается конусу, между тем как в настоящее время цилиндр - вырождение конуса, когда вершина ушла иа бесконечность. Это точка зрения диа лектической логики, встающей выше логики классов, разбивающей неизменность видов. Цилиндр, с одной стороны, не конус, ибо в нем прямолинейно-образующие параллельны, в то время как в конусе ие параллельны, с другой стороны, цилиндр - вид конуса, ибо нельзя указать, когда при удалении вершины конус перестает быть конусом.

Methodus admirandaruin mathematiconim novem libris exliibens universam Mathesin autore Johanno Henrico. Aistedio Herbornae Nassoviomm. 1623. Johann Heinrinli Alsted 1588-1638. Cantor. II. 719. Kastner ПІ. 434-438.

Alstedi. Novum speculum Logicis minime vulgaris. 1652,

54 Riff. Quaestiones Geometricae in Euclidis et P. Rami ^TOixsuaaiv adsumscholae Matliematicae collectae doctore Rufo. Oxoniae. 1665.

Определения образов (видов) (лат.). Прим. ред.

Исследования свойств данных величин независимо от их вида (лат.)

Эвтиметрия линий. Термин "эвтиметрия", по-видимому, происходит от греч.

я В гегельянстве дихотомная система заменяется трихотомной, и принципом построения является не родовое соподчинение, а диалектический принцип, противополагающий тезису антитез и соединяющий их в синтезе. Точка и пространство - это первые тезис и антитезис, точка и пространство, и их отрицание и примирение, обретается в прямой линии, которая как количество-расстояние и кале качество-направление дает снова тезис и антитезис и т.д. (Гегель. Философия природы.)

41 Arnaldus. Nouveaux eleinens de Geometrie. Paris. 1683.

62 Здесь уместно упомянуть логистическую точку зрения: линия здесь объявляется классом точек, которым присуще определенное свойство; наиболее существенным представлятся не отношение вида к роду, не отношение части к целому, а соотношение между объектами, удовлетворяющими одной и той же системе постулатов и подвергающимся тем же формальным операциям. См.: Ingrami. Elementi di Geometria. Bologna. 1904. Pieri. I principia delli Geometria, и др. его сочинения.

й Т.е. точек прямой. Прим. ред.

De la Caille. Lectiones elementares Matliematicae seu Elementa Algebrae et Geometriae. 1762.

Порочный круг (лат.). Прим. ред.

w Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des Mathematiques. A Geneve. 1778.

В прошлом столетии угол имеет интересную историю, ярко отражающую "механизацию" геометрии от начала к середине столетия. От евк- лидовского угла, как наклонения (принятого Хауффгом 1803 г., Бреве- ром 1822 г., Паукером 1823 г., Коберлейном 1824 г., Креллем 1824 г., ван Свинденом 1834 г,, Ульрихом 1836 г., Рехтом 1844 и Эбенсбергером 1850) и разновидности угла, как раскрытия (ouverture) (Безу 1812, Де- велей 1818, Махистр 1845) через бертраиовское определение угла, как неопределенного пространства между двумя непараллельными прямыми (Форстерланг 1847, Кнорр 1849, Бекер 1859, Турих 1868, Адам 1869, Беер 1869, Шлегсль 1872 г.) эволюционирующая мысль составителей

учебников пришла к углу, как различию направлений (Тибо 1822 г., Фишер 1833, Вундер 1840, Эбенсбергер 1850, Кунце 1851, Хейдегреих 1856, Соиидорфер 1865, Зененберг 1868, Турих 1898 ), а отсюда к отклонению (Abweichung) направления (Соломон 1847, Август 1852, Пернет 1857, Виганд 1863, Функ 1864, Грунерг 1870, Нагель 1873, Брок- ман 1871, Спикер 1873, и, наконец, к величине поворота (Grosse der Drelumg) (И.

Интересно отметить, что в некоторых немецких учебниках имеются два угла; угол - lineatum и угол - planum. Взаимное наклонение двух пересекающихся прямых называется углом (Winkel), а ограниченная ими часть плоскости (Winkel-raum), причем равным углам отвечают равные угловые пространства и обратно.

(Крелль 1826, Форстнер 1826, Бретшиейдер 1844, Август 1852, Сте- фенхагер 1847, Мюллер 1844 и Спикер 1873).

См. историю определений: Schotten. Inhalt und Methode des planimelrischen Unterichts. Teubner.

Параллельные пространства играют валеную роль в теории параллельных Бетрана, в основе которой лежит принцип: "Каждое параллельное пространство меньше угла."

Крелль, дополняет его еще вторым принципом: "Каждое ограниченное пространство меньше угла". Интересно отсюда вытекающее до-каз, того, что внешний угол в треугольнике больше внутреннего с ними не смежного.

У Мерея (Meray. Nouveaux de geometrie.) за изложением теорем и Операций, относящихся к углам, следует изложение теорем и операций, относящихся к параллельным полосам.

Lacroix. Elemens de Geometric Г usage сіє ГЕсоїе Centrale des Quatre- nations. Paris. 1814.

Lacroix. Essais sur 1 'enseignement en general el sur celui des Mathematiques en particulier. Paris.

См.: Бобынии. Элементарная Геометрия и ее деятели во второй половине XVIII века. // Журнал Министерства народного Просвещения. Ordo Arnoldianus в учебниках: Lamy. Elemens de Geometrie. Paris. 1685.

Sauveur (revu par !e Blond) Geometrie elemenlaire et practique. 1753. Rivard. Elements de Mathematiques. Paris. 1768. Заметно сильное влияние Арно иа сочинения.

Varignon. Elemens de Mathematiques. Amsterdam. 1734. De la Caille. Lectiones elementares. 1762. Camus. Coins de Mathematiques. 1755.

Интересно отметить, что в "Руководстве начальной Геометрии" Остроградского в отношении плана проводятся арнольдовские идеи. У Ост-роградского, в противоположность Лежандру, курс не начинается с треугольников, но ему очень рано приходится пользоваться теоремой о конгруэнтности Арно.

"Когда Вы встретите на боках двух равных углов части, соответственно равные, необходимо допустить равенство линий, соединяющих в каждом угле концы этих частей".

Также как Арно, когда с Остроградским доходим до треугольников, то все уже оказывается готовым, так как "треугольник, говорит Остроград-ский, можно рассматривать, как совокупность двух наклонных и секущей этих наклонных, ограничив первые и последние точками взаимных пересечений".

Остается только приложить к треугольникам свойства наклонных. Идея Арно провести теорию параллельных и перпендикулярных до ис-следования случаев конгруэнтности треугольников - конечно, не совершенно независимо от него, нашла осуществление и в учебниках чисто лежаддровского типа, например в Геометрии Ньевеигловского. Путь же указан Омом.

Ohm. Die reine Eleinentar - Mathematik... Berlin. 1826.

Этот фактор играл не меньшую роль, чем желание систематизироваиия. В этом отношении интересны сочинения Дешаля, Арце и Симпсона.

Предисловие, (фр.). Прим. ред.

То же - 5-й постулат. Прим. ред.

"Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ией" (пер. Мордухай-Болтовского). Возможен перевод: "Прямая линия есть та, которая равно лежит своими точками". Прим. ред.

То же акс. 9 (в изд. М. 1950). Прим. ред.

Dechales. Elemeniarum Euclidis Libri Ос to... autore Claudio Franciscio Millet Dechales...MDCLXXV.

Джордано Витале (1633-1711) выводит из равенства AC=EF= BD, что ZC -ZD = d и отсюда, что AB и CD при условии одинаковости расстояний трех точек А, Е, равно отстает друг от друга, но если для какой-либо точки G перпендикуляр к АВ .. GH > АС, то откладывая QI = АС получаем противоречие Сгодной стороны СШ + HID меньше 2d, ибо ZAC1 = Z СШ и Z BDI =Z HID представляют части прямых углов, с другой стороны эта сумма, как сумма внешних углов прямоугольных треугольников, больше 2d.

Vitale. Euclide restituto. 1680.

Бонола. Теория параллельности и неевклидовы геометрии. Энриквес. Вопросы Элементарной Математики Спб. 1913.

Euclidis restitutus a Alphonso Borellio. Romae. 1679.

78 При движении вдоль CD концом перпендикуляра, не лежащим на CD. Здесь использовано первое положение Клавші: линия, все точки которой равноудалены от прямой, тоже прямая. Прим. ред. 75 Euclides ab omni naevo vindicates... autore Hieronymo Sacclierio. Mediolani MDCCXXX1II см.: Enget und Stackel. Die Theorie der Parallelinien. Leipzig. 1895.

Каган. Основания Геометрии. Исторический очерк. Одесса 1907 г. 8(1 Pascal. Oeuvres. Hachelte. Paris. 1872. 1613-182. Cantor. Vorlesungen.

Leipzig. 1900. s. 681-682. Si Евклидовых "Начал" восемь книг, пер. Петрушевского. Спб., 1819, стр. 108.

"Начала" Евклида с толк., пер. М. Ващенко-Захарченко. Киев, стр. 146. Friedlein. Procli Diadochi in primum Euclidi elementorum librum coinmenlarii. Leipzig, 1873. 83 Les quinze livres des elements geometriques d'Euclide Megarien Traduits

devrecen Francaispar, P. Le~Mardele. Paris. 1632. 81 В учебнике вольфианского типа: "Ежели прямые линии и углы закрываются взаимно друг друга, то они равны между собой, ежели равны, то друг друга взаимно закрывают". Аничков. Теорет. и Пракг. Геометрии Спб. 1780. 85 Arzet. Clavis Mathematica...MDCXXXIV.

У Кардана (Opus novum de proporionibis. Opera IV. 542-546) имеется доказательство, что угол (смешанный) между двумя пересекающимися равными кругами равен углу между равными хордами этих уголов (на основании положения, что углы сегментов с равиыми хордами равны). Aristotelis. Analytica Priora Lib. I Cap. XXIII (no Didot).