Исследования о происхождении некоторых основныхидей современной математики.

Известия Северо-Кавказского ун-та, 1928, т.З, с. 35-129.

Методическая сторона настоящей темы более развита в моей работе: Риторическая алгебра и арифметические задачи. "Педагогическая мысль".

Примитивное решение должно было выступать в периоды упадка математики. Вне сомнений, путем проб решились и задачи Алкуина.

Reguia falsi при решении некоторых задач:

August Eisenlolir. "Ein. mathem. Handbuch der Alten Aegypter." Leipzig. 1877. Бобышш. "Древнеегипетская математика в эпоху владычества Гик- сов". Журнал Мни. Нар. Проев, за 1909 г„ № 10, II. (Reguia falsi применяется в исчислении х а у: главы ХЕ, XII, XIII.) Фальшивое правило у индусов ishla karman. Как отмечает Кантор, египтяне пользовались этим правилом инстинктивно, а индусы вполне со- знателыю. Cantor. "Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik" Bd. I, s. 371.

Khelasat al I-Iisab ou Essence de Calcul de Belia-Eddin. Nouvelles Annales, Т. V. 1846.

Reguia falsi, называемое также правилом уменьшения и увеличения, находится у Авраама бен Эзра (ИЗО), Ибн Альбани (1222), Алказади (1480). О них смотри: Libri. Histoire des sciences math. Т. I, p. 304-312. Сочинение Альбани переведено на французский язык: Talkys dylbn Albani publ. et traduit par Aristide Mare. Rome. 1865. p. 26-27. О Еэг- Эддинесм, Nesselman. Behe-Eddins der Rechenkunst. Berlin. 1843.

Магницкий. Арифметика.

Albert Girard. Invention nouvelle en l'Algebre. Amsterdam. 1629.

Эта форма reguia falsi называется иными prope veri, см.: Эйлера. - Theoria planetorum et commetarum, также Ньютона: De mundi systema in fine Princip. L. 3. 41.

Matthiessen. rundzuge der Antiken und Modern Algebra der Lit. Gleichungen. Leipzig. 1878,

Издание Диофанта: Guil. Xilander: Diophanti Alexandrini rerum arithmeticarum - libri sex. Изд. Bachet. 1760 с примечаниями Фермата о Диофанте.

Ehrenfricdt Walter von Tschirnhausen (1651-1708),

Cantor. Vorlesungen. В. Ill, s. Ill, см. его переписку с Лейбницем. Leibniz. Opera. IV, s. 423-500.)

Аристотель (384-322 до н. э,). О нем. см.: Историю философии. Zeller'a, Windelbandt'a и др. Aristotelis. Opera omnia graece et latine. Parisiis. Didot, 1.1. De praedicamentis. [Или рус. пер.: Аристотель. Соч. в 4-х томах. Т. 2. М. 1978.]

(Categoriae) Cap IV. Об Аристотеле работы: Biese, Phlosophie der Aristoteles. Berlin, 1877 и др. Библиограф, см.: Ziehen. Lehrbuch der Logik; о его значении для истории математики: Cantor. Vorlesungen. В. 1, s. 238.

Cap. VI, [5bll, баї9].

Следует отличать то лоао и - quantum от 7госготт|<; - quantitas.

Categ. VI, 6a26. По-видимому, автор имеет в виду оппозицию Sovotpii; svspysux (обычный перевод: "возможность - действительность"), которая обсуждается Аристотелем в Met. VIII, хотя и ие применительно к "равному" и "неравному". Прим. ред.

Arist. Met. lib. VIII.

О схоластике: Heaureau. De la pliilosophie Scolastique, p. I, II. Paris., Rousselot. Etude sur la philosophic de inoyen age.

Подробное изложение средневековых философских систем: Tiedemami. Geist der speculativen Philosophic. В. IV. Marburg. 1793.

О Дунсе Скотте (1274-1308) и скоттистах см.: Pluzanski. Essai sur la philosophie de D. Scott Paris. 1887. Изложение его системы: Boyvin. Philosophia scolica. 41. Paris. 1668. Abergoni. Resolutio doctrinae Scolicae, Lyon. 1643.

Фома Аквинский (1227-1274).

Его сочин.: Sancti Tliomae Aqunatiis doc. angelici. Opera оишіа jussu Leonis ХПІ. Roinae 1884. Изложение его системы: Guerinois Clypeus ThoraisticaePliilosophiae. Venetii. Таюке учебншш: Piny, Reichl, Schnell. Rabes и многие другие.

Рационалисты: Декарт (1596-1650), Арно (1612-1694), Гейлинкс (16251669), Мальбранш (1638-1715). См.: Ziehen. Т. 1.

S. Thorn. Aq. 4 Contra gent. С. 65. Summa Theologiae. I p. q. 14 ar. 12. Opusc.76. q. 5, art. 3. Opusc. 48 art. 12. Того же мнения и Суарец,

Kepleri. Nova Stereometria dolomm. Opera omnia IV, p.p. 537-538.

Cavalieri. Geometria indivisilibus contin. nova quodam methode promota Bononiae. (1635, 1653).

Formaliter ex natura rei, см.: Boyvin. PrantI, Geschichte der Logik.

О пространственном мышлении античной математики см.: Шпенглер. Закат Европы. 1923, гл. I. О смысле числа.

"Начала" Евклида. Опр. 2, кн. 1.[Пер. Мордухай-Болтовского. М. 1950]

Критику евклидова определения мысли с точки зрения требований, предъявляемых аналитиками к определению - см.: А г і s t. Topic. Lib. VI, cap. VI. 5.

Опр. 5 кн. 1 "Начал" Евклида. Прим. ред.

Опр. 1 кн. 11 "Начал" Евклида. Прим. ред.

Подробный разбор см.: Guerinois Clipeus. Q. Ill, art. 3.

Scotus Soncinas (Quacstiones Melapliyscae acutissimae. 1622), Capreollus и др. ссылаются на Arist. 5 Met.

M Soncinas. Met. Lib. V. Q. XXI.

Albertus Magnus (1193-1280). Opera ed. Pet. lammy. Lyon 1653, vol 21.

Определение Архимедом площади сегмента параболы.[См.: Архимед. Квадратура параболы. Соч. М. 1962.]

Arcliimedis. Opera (ed. Heiberg) I s. 288. см. таюке Cantor. Vorlesungen uber Geschichte der Malhetnalik. Leipzig. 1894. B. s.

О месте (Locus) см.: Aristotelis. Naturales Ausculationes. Lib. IV. Cap. I, II, III. [Phys. IV. см. Аристотель соч. в 4-х томах. Т. 3. М. 1981.]

Arist. Categ. Cap. VI. 5а15-36.

Это утверждение автора странно, поскольку непрерывной непространственной величиной у Аристотеля является время. Прим. ред.

Там же.

Newtoni. Methodus fiuxionuin. 1678. в Opuscula Nevvtoni I (есть и на французском языке: Cantor. III. 108, 168.) [І-Іьютои. Математические работы. M.-JI. 1937. Метод флюксий.

3'' Учение Аристотеля о субстанциях. См. Met. V, cap. VIII.

10 Categ. Cap. VI.

" S. Thorn. S. Т. I p. 30, art 3. Quodlibeta 10 art. 1. q. b. de Potentia art. 2. Gnerinois. Clypeus P. T. 1. II dePraed. Art. IV, II. О времени: S. Thom. 5 Met. Cap. 13.

45 О движении: Аристотель не называет движение, перечисляя роды количеств в 5 кн. "Метафизики". Движение не количество: большинство фомистов против Фонсеки, Конимбринценза и др.

"Неполное" - (лат.). Прим. ред.

Евклид. "Начала", 7, изд. Петрушевского, очер. 2. Euclides Elementa funfzelm Bucher uberz J. Lorenz. Halle. 1840. [Также пер. Мордухай- Болтовского. M. 1950.]

Аристотель выражается несколько иначе, противополагая единицу не числу, а множеству: единица противоположна множеству, как мера тому, что измеряется. Arist. Met. lib X Cap. VI.

Реалисты приписывают универсалиям (общим понятиям) реальное су-ществование (Ансельм. Шампо, Бернард Шаргрский). Номиналисты признают только символическое их значение. У позднейших схоластиков, у Фомы Аквинского компромиссное решение.

Концептуалисты универсалии находят в душе, но при этом не как слово или символ, а как ее модус. Это мировоззрение берет верх и его придерживаются рационалисты. К концептуалистам примитивного типа молено отнести и Абеляра. Remusat. Abelard 1.1, II. Paris 1845. Также Haureau, Prantl и др.

Met. V. гл. 6.

10 О методе Аристотеля см. Biese.

Met. Lib. XI cap. VI. Об идеальных числах Платоиа см.: L. Brunschwigg. Les etapes de la pliilosophie mathematique. Paris. Alcan. 1912.

Там же.

Альберг Великий (1193 - 1280). Haureau. La phil. sul-XII, cah. XVII.

34 Г. Каитор. Кутюра. Принципы математики.

Внедряясь глубоко в анализ абстрактных понятий, схоластика разделяет два понятия единства: одно трансцендентное, отвечающее вещи в себе (unum quod convertitur cum ente по Колонне), и единство как принцип числа. Одно определяется как неделимое, отделенное от других вещей, т.е.

Против этого Фома: S. Thorn. S. T. 3 par. q, 11 art. 2 in 4 dis. 2 art. 9. Alb. Mag. I. Phys. t. 104. Soncin 5 Met. 2, а таюке Durandus, Mauronius, Hervaeus и другие.

Soncinas. Mel. lib. X. Q. VIII.

Там нее.

Об абстрактном понятии группы см.: Кутюра. Принципы Математики. Изд. Карбасникова.

58 Guerinois. De praedic. Quant, art. V.

3!> Aristotelis. 8 Met. Cap. З, таюке Phys. Cap. 3.

60 О Росцелине. См. сомин. Абеляра. Remusat Abelard.

S1 Отметим чисто схоластическую проблему: о том, следует ли деление относить к материальному объегау или к его количеству (это слово употребляется в смысле пространства). Наряду с отрицательным решением (Suarez, Fonseca) и положительным (Soncinas, Capreolus, Caetenus, Sanschez) еще имеются и средние компромиссные. Некоторые томисты думают, что хотя части и относятся к вещи, но само их получение не-возможно без пространства (Mailhed, Goudin), другие же видят роль пространства в создании порядка между частями (Casrna deLen). См. учение Лейбница о пространстве, как порядке вещей.

® Suarez. Metaphys. Disputaliones torai duo. Venetiis. 1619. Disp XLIV, XLV. О различении соединения и составных его элементов. За реальное различие Suarez, Arriaga, против Conimbricensis. Об этом вопросе подробно Knittel. Aristoteles curiosus. Progae. 1682.

я О материи и форме. См. Aristoteles. О нераздельности формы и материи. Alb. Mag. і Phys I trac. II.

64 Об учении Фомы о материи см.: Haureau. La philosophic scolaslique, XII.

й Жегалкин. Транс финитные числа.

<Л Кантор. Учение о множествах. Новые идеи в математике. Сб. 6. Ueber die unendlich lineare Punktmannigfaltigkeiten. Math. Ann. B. 15-21-23. 1879-1884.

S7 О multitudo: Аристотель, Met. Lib. XII. Cap. I.

№ Soncinatis. Questiones metaphisicales acutissimae. 1622. Lib X.

® Sonc, Lib. X. Q. X. За это прив. места из 10 кн. Метафизики Аристотеля и Thorn, 4 Met.

70 Sonc. Lib. X. Q. VIII. За это прив. место из 8 кн. Метафизики Аристотеля.

71 Arist. Met. Lib! IX, cap. VI.

71 Об Анаксагоре см. Zeller. Geschichte d. Ph., также Таниери. Первые шаги греческой науки.

Ср.: Лебедев А. В. Фрагменты ранних греческих философов. М.1989. Анаксагор, фр. 17: "ничто не рождается и не гибнет, но соединяется ... и разделяется". Приведенная автором формулировка - позднейшая. Прим. ред.

Ансельм. Patrologia Migne. 1853, t. CLVIII,

Sonc. Met. Lib. V. Q. XVI.

16 Конечно, эти возражения создавались арабскими, а не христианскими схоластами.

Generatio следует отличать от ortus (тому и другому отвечают русское слово "рождение"): об ortus см. Aristoteiis. Naturales Ausculationes. Lib. VIII.

Soncin. Lib. XII. Q. XV-XVI.

О философах до Аристотеля см. в "Метафизике" самого Аристотеля. Также Zeller. G. d. Pliilosophie.

Учение Аристотеля о против.: Arist, Met. Lib. X. cap. IV. О средних, cap. V.

Там же, cap. VI.

Arist. Met. Lib. X. cap. IV, V.

Гегель. Логика, см. также Куш Фишер. История новой философии.

Arist. Phys. I. cap. VII. Met. Lib. IV. Tiedemann, s. 263.

Из ничего ничего не происходит - (лат.). Прим. ред.

S. Thorn. Aq. Opusc. 31 in. Arist. Met. Lib. XII. c. 2.

^ Аристотель о холоде. De Coelo, Lib. IV. Телезий. О нем: Carriere. Die pliil. Weltanschanung der Reformatiouszeit. Stuttgart. 1847. VII, s. 314353.

38 Кардан. Там лее, VI, s. 324 - 352. w Arist. Categoriae, Cap. VII. 50 Т. е. в отношении "отец-сын". Прим. ред. 91 Alb. Mag. Ill, p. 207. Тії. Aq. Opusc. 48.

91 Авиценна. Die Metaphysik. Avicennas enthaltend die Mel. Theologia etc. ubersetzt underlautertvonM. Hortz. Leipzig. 1909. 10 Кар. 857, Старое издание Avicenas Opera. Venetiis. 1523.

За умножение Hurtado. 15 Met. s. 10. Скотт. Scot, in 3 dis. 8 q. I, против Thorn. S. T. 3 p. q. 35. a 5, см. также Knittel, Aristoteles curiosus 1682 ex libris Met. Q. XLVni.

См.: Guerinois. De Praed. Relat. Sonc. Lib. V.

Hervaeus Natalis, 1323. Quodlie II q. 14. Buhle § 797.

% Wilhelmus Durandus, 1332. In Mag. Sent. I dist. 17 q. 3 q. Buhle §806. 97 In Mag. Sent. II dist. I. q. 5 Buhle. s. 770.

SB Более подробно об этом смотри мою работу. Из прошлого 5-Й книги "Начал" Евклида.[наст. изд.].

Евклид. "Начала". Опред. 3. 5-й книги.

Там же, определение 5.

Евклид "Начала". Кн. 1.

Там же, кн. 7-9.

См.: (Arnauld). Nouveaux Elements de Geometrie. Paris. 1687.

Арно - Antoune Arnauld (1632-1684) вместе с Николем составил знаменитую пор-роялевскую логику (L'art de penser). [ См.: А. Арно, П. Николь. Логика или искусство мыслить. М. 1991.]

Newton. Arillimetique universelle par Beaudeaux. Paris. 1902. [Ньютон. Всеобщая арифметика, М.-Л. 1948.]

100 L. Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des Mathematiques. Geneve. 1788.

WT Legendre. Elements de Geometrie; у Вольфа иррациональное число по-нимается как отношение линии к линии (Ontologia § 405), но у него еще не всякое отношение линий есть число.

108 Многими сознается, что центральной проблемой алгебры является уравнение; в этом случае предпосылается введение, где говорится сперва о численных, затем тотчас о буквенных уравнениях. См.: Lacroix. Elements d'Algebre. Поздн. издание: Prouhet. Paris. 1879. У Briot (Lecons d'Algebre) эта часть развита больше.

Ш9 Словесная алгебра.

Полусимволическая. Эйлер в "Anleitung zur Algebra, Petersburg. 1802", излагая свойства чисел, уже при сложении и вычитании пользуется буквами, для "представления результатов в общем виде". Аналогичным образом поступает и Глаголев в элементарной алгебре (Москва, 1907), и Борель-Штгеккель в элементарной математике, изд. "Матезис".

Schubert. Element. Arithmelik und Algebra. Leipzig. 1910, указывает наряду с буквенными выражениями и уравнения. Давидов, Малинин и другие начинают прямо с буквенных выражений.

Уравнения, к которым приводятся обычно арифметические задачи, следующие: у - с = m (х + с) (перекладывание см. Егоров, зад. 1317), ах + by = с, у = X + d (деление на неравные части, зад. 1320), ах + by = с, у = шх (т. е. части, из которых одна кратная другой, 1491 и д,), х + у = s; у : х = m: и (деление, зад. 1521).

См.: Шапошников и Вальцов. Сборник алгебраических задач. Давидов в начальной Алгебре, III гл. стр. 63, говорит, что взаимнопростые, это такие одночлены (и многочлены), которые общим наибольшим делителем имеют ± 1.

Развитие вида.

,и Развитие индивидуума.

Этот взгляд приводится и в XVIII веке, см. De la Caille. Lectiones elementairs matliematicae. 1762.

Евклид. "Начала". І книга.

Coroli Renaldini. Ars Analytica. Anconae. 1644.

us Vieta. In artem analyticam Isagoge. 1591, Cantor. Vorlesungen uber

Geschichte der Mathematik. B. IT. Leipzig 1900. 119 Т.е. произведения площадей и тел, и двух площадей. Это допускает

уже Диофант. Прим. ред. ш Смотри: Lex homogenarum. Isagoge, p. 5. Marie. Histoire des sciences mathematiques, t. ІП, p. 9-19. Renaldini, p. 107.

Isagoge, p. 132-134, у Виэты эта операция ставит целыо освобождение

от иррациональности; полагая х = 80у уравнение х'1 - 8х = V80 при-водим к 80у4 - 8у = 1.

Renaldini. Cap, XXIX, р. 211.

Неизвестное. Прим. ред.

Декарт. La Geometrie de Rene Descartes. Livre I. Paris - Hermann. 1898. Геометрия начинается с построения алгебраических выражений с разъяснением их смысла.

Картезианская точка зрения служит у Гильберта для основания теории пропорций без архимедова постулата (Streckenreclinung). Hilbert. Grundlagen der Geometrie. Leipzig. 1899. S.32 и др. издания. Есть и русское. [Гильберт. Основания геометрии. М. 1948.]

См. мою работу: Из прошлого пятой книги "Начал" Евклида. Математ. Образование за 1916 г. Большое историческое значение в этом отношении имеют {Amaldus-). Nouveaux elements de Geometrie. Paris. 1683 и L. Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des Mathematiques. A Geneve, 1778.

Legendre. Elements de Geometrie (много изданий).

m Об индусах подробно: Ващенко-Захарчепко. История математики, Киев, 1883, стр. 377. Переводы иа английский Bja-Ganita и Lilavati (Bascara) - Strachey. 1811. Taylor. 1816, см. также Buclmer. De algebra lndorum. Elbing. 1821.

Об арабской алгебре, между прочим; Matthiesen. Grundzuge der Antiken mid Modernen Algebra. Leipzig. 1878.

См. главным образом сочинение Магомета бен Музы (около 830 г.). LiberMahmeti filii Moysi Alclioarissmi de algebra et almuchabal mcipit... известно в средние века.

Английский перевод Rosen. London. 1831.

Renaldini. Геом. выводы числовой алгебры, стр. 66, 77, 85; буквенные стр. 128, 133,136. [См. также: Аль-Хорезми. Математические тракта- ты. Ташкент. 1964., Сабит-ибн-Корра. Математические трактаты, М. 1984.]

133 Количественную точку зрения можно увидеть у индусов. У Диофанта "+" знак операции.

Например, в курсе алгебры Лакруа. Истер, данные смотри в книге: Мрочек и Филиппович. Педагогика математики.

Reualdini. Alg. Speciosa. AQ + В in A = ZQ (p. 128) AQ В in A = ZQ (p. 131) В in A AQ= ZQ (p. 134)

Renaldini. Alg, Speciosa Cap. III. Operalio Secunda, см. таюке p. 126.

Renaldini. Parabolismus в числовой алгебре. Cap. X, p. 59.

Renaldini. Alg. Speciosa, Cap. IX, p. 121. 133 Viete. Introduction.

!3<) Renaldini. Cap. XV, p. 148.

M0 Vieta. De aequationum recognilone et emendatione 1615, p. 123-124. ,41 Там же, p. 132- .134.

Renaldini, p. 230.

P. 216.

Renaldini, p. 175.

Renaldini. Algebra Spec. Cap. II, p. 129.

Renaldini. Alg. Spec. Cap. XXIII. Vieta de recogn. Cap. 19, 20, 21. Виэта решает задачу о построении уравнения, определяющего данные положительные корни й дает следующие формы: (а + Ь)х - х = ab, х3 - (а + b + с)х2 + (ab + ас + bc)x = abc; р. 158. 1,7 У Жнрарда (Cantor В. II, s. 777) отрицательные корни фигурируют наряду с положительными, им придается геометрическое значение и "-" объясняется "отступая","+" "идя вперед". Многие корни являются только показателями того, что корней меньше, чем степеней уравнения, причем настолько, каково число многих корней. Но Харриот ие признает отрицательных корней (Cantor, 790. Kastner. В. Ill, 42-46, 179-181). 143 Renaldini, p. 235.

В современной символике:

х3 -Ьх = -fz\ (х3 - Ьх)2 = X6 - 2bx" +b V; х6 - 2bx" -1-bV = z.

(а2 + 2ае + е2 + b)(a -I- е) = (а2е + гае2 + е3 + be) + (а3 + 2а2е + ае2 + ab) = а3 + + За2е + Зае2 + е3 + be + ab). Прим. ред.

х2 + 2bx = z; пусть х + b = е, тогда е2 = х2 + 2bx + b2 = z + b2,

откуда х ч-b = Vz-t-b2 и х = л/z+ b2 -b; если b = 1 и z = 20, x = V2T - 1. Прим. ред.

Klielasat al Hisab ou Essence de Calcul de Beha-Eddin. Nouvelles Annales XV. 1846.

Из Lucas Pacioli. Liber Abaci. Лука Пачиоли (1445-1514). О нем также: Лоренц. Элементы Высшей Математики.

Лебедев. Очерки по истории точных наук. Кто изобрел алгебру? Петроград. 1919.

Если х2 + px = q. то х = +q --j- Прим. ред.

Аничков. Теоретическая и практическая арифметика. Москва. 1786.

"Начала" Евклида в переводе Ф. Петрущевского или Ващенко-Захар- чеико [или Мордухай-Болтовского. М. 1950].

Petri Rami. Geometriae Libri XXVII. Basileae. 1569. Scholarum Mathematicaruni. Libri unus et triginta. Basileae 1569.

,i!i Euclidis elementorum. Libri XV, auctore Crist. Clavio. Francfurt (1574), (1654).

Borelli. Euclides restitutus. 1679.

Arnaldus. Nouveaux elements de geometrie. Paris 1683.

Saccheri. Euclides ab oinni naevo vindicatus.

Lambert. Tlieorie der Parallellinien.

Legendre. Elements de Geometrie. Paris. 1794.

Grassmaim. Die line-are Ausdehnungslehre. Leipzig 1844.

1(55 Riemann. Ueber die Hypothesen die der Geometrie zu Grunde liegen, есть русский перевод. Каз. Мат. Об.

т Helmholtz. Ueber die Thatsachen die der Geometrie zu Grande liegen.

"7 Lie. Theorie der Transformationsgnippen. Leipzig. 1888-1893.

И8 Статьи Бельтрами в Annali di Mathematica. 1865.

Klein. Ueber die sogenannte Nicht-Euclidische Geometrie. Mat. Ant. IV, VI. XXXVIL

Hilbert. Grundlagen der Geometrie. Прекрасный исторический очерк оснований геометрии можно найти в основаниях геометрии проф. В. Кагана. Одесса 1907.

Legendre. Elements de Geometrie и все учебники лежандрового типа: Garnier-Vincent, Terquem, Lacroix и другие. В этом отношении в высокой степени характерна книга: Perronet-Tompson. Geometrie sans axiomes, ou le premier livre des elements d'Euclide demontre d'une maniere completement rigoureuse, trad, de l'anglaise par van Tenas, Paris, 1836, в которой доказываются все аксиомы, но только с помощью сложных стереометрических рассуждений.

Pascal. Oeuvres, III, p. 163-182.

Характерны сами названия сочинений: Tschirnliausen. Medicina mentis sive artis inveniendi praecepta generalia. Amstelodami. 1687. Чиригау- зен (1651 - 1708). О нем см,: Cantor В. Ill 3. 112., Hansch. Ars inveniendis. Synopsis regulamm praecipuoruin arti inveniendi 1727.

Regulae ad di recti onem ingenii. Oeuvres morales et pliilosopliiques par Amedee. Paris 1855. Рассуждения о методе, пер. Любимова. Ж. М. Н. П. СПБ. 1885 - 86. О Декарте: Ziehen. S. 26, 99. [Декарт. Соч. в 2 Т. Т.1. М. 1989.]

(Arnaldus). Nouveaux Elements de Geometrie. Paris 1683.

Пусть CA = CB и DA = DB

Утверждается, что для любой точки Е прямой CD ЕА = ЕВ

Varignon. Elements de Mathematiques. Amsterdam. 1734.

Что, разумеется, не верно. Автор имеет в виду следующее. Согласно первому аргументу Арно, свойством, которым обладают две точки пря-мой, обладают и все другие точки этой прямой, поскольку - де прямая определяется двумя точками. Однако это не верно, как показывает приведенный контрпример.

А

—

СЕ D

178 См. прим. 176.

Herigonis. Cursus matheinaticus nova brevi et clara methodo demonstatus per notas reales et universales utra usuni cuiuscunque idiomatis intellectu faciles. A Paris 1634. О нем: Cantor. Vorlesungen, В. II, S. 656.

Бертрановское определение угла, как иеопред. части плоскости, ограниченной двумя прямыми, и как наклонения, различия направлений, дают безусловно различные вещи, которые у Крелля, Бретшнейдера, Шликера и др. различаются, как Winkel (угол), и Winkelraum (угловое пространство).

1Яг Hilbert. Grundlagen der Geometrie, Leipzig, 1899 и др. издания.

183 "В начальном основании Математики" Н. Муравьева (руководстве Воль- фианского типа), 1752, даются два определения:

Дефиниция 3: одинаково называются, когда одно вместо другого взять можно.

Дефиниция 4. Когда одна величина в другой один раз содержится, такие величины называются равными.

Прим. ред.

1S5 Fortunato a Bruno. Elimen. Matli. 1738, см. такие аксиом, опыты у Roliauet. Oeuvres posthumes. Euclide. 1690. Nebe. Nucleus Aritlimeticae. 1666.

В современной символике: Дано:

АВ = AC,

требуется доказать: ABC = АСВ и CBD = ВСЕ Доказательство:

Продолжаем АВ до AD и АС до АЕ = AD

Имеем: AD = АЕ, АС = АВ, DAE общий => Д D АС = Л ВАЕ => BE = DC, DCA = ЕВА, ADC = АЕВ;

BD = СЕ (по постр.), DC = BE и BDC = СЕВ => Д BDC = = Д СЕВ => CBD = ВСЕ; (и т.д.) и DCB = ЕВС = ABC = ABE -ЕВС и АСВ = ACD - DCB => ABC = ABC = АСВ (и т.д.) (Здесь используется признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними - предл.4 1-й кн. "Начал" - но не используется утверждение о сумме смежных углов, которое доказывается у Евклида позлее - в предл. 14.) Прим. ред.

Предл. 10 ХІ-Й кн. "Начал". В современной символике: Дано: AB||DE, AC||DF.

Требуется доказать: ВАС = EDF

Доказательство: отлолсим АВ = АС = DE = DF, соединим AD, ВС, EF, BE, CF. В А = ED и BA|[ED => AD = BE и AD||BE, (предл. 33, I кн.) аналогично CF = AD и CF||AD => ВС = EF и BC||EF => Д ABC = A DEF (по 3-м строронам - предл. 8 I кн.) => ВАС = EDF (и т.д.) Ш|і Elementa Euclidis. Declaratio Autore. Wuil. Oughtredo Anglo. Oxoniae.

1662. William Oughtred. 1574-1600, см. Cantor. В. II, s. 720. 189 Т.е. величин, квадраты которых соизмеримы или несоизмеримы, см. опред. 2 книги X "Начал". Прим. ред.

Т.е. в отношении "золотого сечения": = — см. опред. 3 книги VI

a b

"Начал". Прим. ред.

Beaulieu. La Iuraiere des mathematiques. 1673 (литогр.). Ему же принадлежит: La geometriefrancaise ou la pratique aisee. 1676. См. Maupin. Opinions et curiosites touchant les mathematiques. Paris.

Peano. Formulaire mathematique. Кутюра. Принципы математики.

Datis omnium terminorum proprietatibus reciprocis seu definitionibus qualibusque invenire dellnitiones optirai generis. [С помощью данных соответствующих свойств или определений всех терминов найти определения лучшего рода (лат)]. Lett, a Tscliirnhaus. 1679. Werke Math. IV, 481. Briefvveksel I.

Phil. VII. 184.

Phil. IV. 161, VI. 490, 495, 594, VII 553. [Лейбниц. Соч. в 4 Т. Т. 3. М. 1984., стр.99.]

1% Phil. I, 188.

191 Лейбниц. Соч. в 4 Т. Т. 3. М. 1984. стр. 119. Прим. ред.

О принципе противоречия см. там же, стр 138. Прим. ред.

Четыре картезианских правила:

не принимать за истину того, что не очевидно;

делить всякую проблему на элементарные;

располагать свои мысли в порядке от простейшего к сложному;

соблюдать полноту перечня мыслей.

См.: Декарт. Соч. в 2 Т. Т. 1. М. 1989., С. 260. Критику Лейбницем этих правил см.: Лейбниц. Соч. в 4 Т. Т. 3. С. 157-158 и далее. Прим. ред.

Евклид применяет метод исчерпывания во 2-й части XII кн., 5. XII, 10. XII, И. XII, 12. XII, 18. XII.

См. Архимед. - Две книги о шаре и цилиндре и т.д. пер. Петрушевского. 1823. [Архимед. Соч. М. 1962.]

Напр. de la Cliapelle. Institutions de Geometrie.

Aristotelis Phys. 1,6-9, IL, III, VII, VllI, - Thomas Aquinatis Phys. I lec. 13; сильное изменение в учении о материи у Скотта. Scot. Sent lib. II dist. 12 q. см. Haureau. De la philosophic Scolastique. Paris. 1850. t. II, против дуализма формы и материи - философы ранней эпохи возрож- деншЛгршсома (1.485) и Лоренцо Валла (1457), Agricola, Deinventione dialectica. Coloniae, 1527.

Платон об идеях: Тимей, Федон, Федр и другие диалоги. Аристотель о платоновских идеях: Metaph. І. ХПІ с, 4, 1.1, с, 6.

Проблемы essentia et: existentia, см. Arlistot. Met. IV^,, V14, X8. Thomas Aquin. Deente et essentia. Cap. I и другие.

D. Scotti in 2 lib. sent. d. 6, q. 1.

Кроме I-Iaureau еще сочинения по истории схоластики.

Rousselot. Etude sur la philosophie dans le moyen age. 1840-47.

Prantl. Geschichte der Logik im Abendlande. 4 Bde. Wulf. Histoire de la philosophic medierale.

Штеккель. - История средневековой философии. 1912 г. Материалы. Migne. -Patrologia. Tiedemann. - Geist der Specul. Philos. В. IV. Marburg. 1793, также Buhle, Cousin. Fragments philosophiques. 1840 и др.

Сочинения Фомы Аквинского изданы были в 1570 г. Последнее издание Thoraae Aquinatis. - Opera Omnia jussu Leonis XIII edita Romae. 1887.

Развитие идей Фомы Аквинского у Суареца. F. Suarez. Metaph. derli. tomiduo. Venetus. 1619. Disp. 16 de intensione. О Фоме Аквииском Heaureau, t. II, ch. XXI, против Ф. Аквината. Дуне Скотт in 1, lib. 17, q. 3. Д. Скотт. 1270-1308. Dunsi Scotti. Opera omnia Lugd. 1639 12 vol. Об интензировании 8 Met. in. I, lib. sent. dis. I, q.5. Его философию лучше всего изучать по Boyvin - Philosophia Scotistica a prolexitate et Subtil itatibus etc. Liberata et vindicate Par. 1643.

F. E. Abergoni. Resolutio doctrinae Scoticae. Lugd. 1643. Крупнейшие скотгисты: Trans. Majronius, Ferrara, Aurelis, Burleig и другие.

В прямой зависимости от Д. Скотта, вставшая против его реалистических, школа номиналистов Оккама. К ней принадлежат: Buridan, Pierre d'Ailly, Holcot, Oresmus, Biel.

Формально по природе вещей - (лат.). Прим. ред.

О формальностях Д. Скотта, кроме сочинений самого Д. Скотта, см. Prantl - Geschichte der Logic im Abendlande. Bd. II. Cap. XIV, c. 20. Pluzanski. - Essai sur la Pliilosophie de D. Scott. Paris. 1887.

Эмпедокл, около 444 [до н.э.]. Diog. Laert. VIII, 51.

Об Эмпедскле. Arist. Met, I. 4. De geuerat. et corrupt. 1.1, 8. II, 6 Pliys., II, 4.

Bernardino Telesio. 1508-1588. Его сочинение: De natura juxta propria prinapia. Romae. 1565, Neap. 1586, о нем писал Бэкон. De principiis et origine etc.

Орезм Ншюлай-ученик Оккама (1275-1337), главы позднейших средневековых номиналистов, ученика (хотя и восставшего против учителя) Д. Скотта. Guilielmi Occami, Summae logicae. Охоп. 1675 и др. сочинения.

Cantor. - Vorlesungen, II, 2, 130, сочинение Орезма: Tractatus de latitudinibus, изд. Max. Cuitze, в Zeilschriftfur Mat. und Physik. t. XIII, s. 92. [Орезм H. Трактат о конфигурации качеств. // Историко-математи- ческие исследования, вып. XI. М. 1958.]

Kepleri. - Nova stereometria doliorum. Lin. 1615. Opera omnia IV, pp. 537-538. Kantor. В. II. S. 750. [И. Кеплер, Новая стереометрия винных бочек. М.-Л. 1935.]

Cavalieri. - Geometria indivisilibus promota. Bonn. 1635 (1653) [Б. Кавальєри. Геометрия неделимых. М.-Л. 1940.], также его Exercitationes geometricae. Bonn. 1647. Дальнейшее развитие у Валлиса. Wallis.

Arithmetica infmitorum. Opera Mat. Oxoniae. t. I. 1647. Klugel. Mat. Worterbuch. Caval. Met. Актуально бесмзпемно малое еще имеется, хотя в измененном виде, у Пуассона (1883). О методе неделимых см. Brunschwigg. Les etapes de la philosopliie mathematique. Alcan. 1912. Liv. III. Ch. IX. p. 160, см. таюке Pascal. Reflexions sur 1'espris geometrrique. Penscees et opuscules. 1909.

Здесь интересно изучить знаменитый спор об угле касания между Кла- вием и Пелетарием.

Euclidis elementorum. Libri XV. Auctore Cliristophoro Clavio. Hieroni Cardani. De subdlitate. Basiliae. 1554.

Descartes. Geometrie. 1637 [Декарт P. Геометрия. M.-JI 1938], также Notes Floriinond de Beaune, о нем Brunschwig. Les etapes, ch. VII, p. 113.

2ia Newtoni. Methodus fluxionum. 1678 в Opuscula Newtoni I. Есть иа французском языке. Theorie des fluxions. Cantor. Ill, s. 108, 168. [Ньютон. Математические работы. М.-Л. 1937.]

Principium quoddam generate etc. 1716. [Лейбниц. Соч. в 4 Т. Т. 3. M. 1984. стр. 357 (Письмо г-на Лейбница о всеобщем принципе ...)] Вин- дельбанд 1. 1913, стр. 363. Brunschwigg. Les etapes. p. 209.

Более подробняя формулировка у Лейбница Animadversiones in. partem generalem Principiorum Cartesianorum Adpunct sec. ad. art. 45. [Лейбниц. Т.З. С. 218-265. (Замечания к общей части декартовых "Начал").]

Лейбниц. Изб. Фил. Соч. Москва 1890. Новые опыты о человеческом разуме, стр. 200. [Лейбниц. Соч. в 4 Т. М. 1983. Т. 2, стр. 56.]

Принцип Лейбница в геометрической форме дает первую часть принципа непрерывности Понслэ, в силу которого свойства формы, открытые для первоначальной, распространяются нате случаи, когда некоторые ее части сделались 1) нулями, бесконечностями или 2) мнимыми. Application d'Analyse et de Geometrie. t. II. Brunschwigg. Les etapes de la philosophic mathematique. Paris. 1912.

[Параболу можно рассматривать как предельный слу-чай эллипса, большая ось которого становится бесконечной. Если получать эллипс сечением конуса плоскостью, то наклоняя секущую плоскость так, чтобы эллипс все больше и больше вытягивался, мы получим параболу тогда, когда секущая плоскость окажется параллельной одной из касательных плоскостей конуса. Основное свойство конических сечений - постоянство отношения расстояний от всякой точки кривой до фокуса (точки) и диремгриссы (прямой) - имеет место и для эллипса, и для параболы: для эллипса это отношение меньше единицы, а для параболы оно равно единице.]. Прим. ред.

Newtoni. Philosophiae naturalis principia. Mat. London 1686 lib. Ньютон - Математические начала натуральной философии. Пер. А. И. Крылова.

Известия, Н иколаев. Моск. Академии. Петроград 1915. См. также Богомолов: Общие основания ньютоновского метода первых и последних отношений. Физ. Мат. Об. Каз. Унив. 1926.

Euclidis Opera, ed. Heiberg. Lipsiae. 1883. Et si aequalibus aequalia adduntur tola aequalia sunt. [Если к равным прибавляются равные, то и целые будут рДвны. Евклид. "Начала", пер. Мордухай-Болтовского. М. 1950.]

Аксиоматика исчисления бесконечно малого в конце XVII в. см, у l'Hopital.. Analyse der infuiiments petits. 1713. [Лопиталь. Анализ бесконечно маЛых. М.-Л. 1935,]

Fermat. Methodus adinq. maximum et minimum. Newton. Theorie des fluxions. [См. Ферма о методе максимума и минимума в кн.: Декарт. Геометрия: М.-Л. 1938; Ньютон. Математические работы. М.-Л. 1937.]

Ср. соотв. места в логике Гегеля.

Такое отождествление элемента его эквиваленту и теперь производится, как простой.методический прием, конечно, в полном несогласии с современными научными идеями. См. конец учебника геометрии Давыдова.

Понятие об эквивалентных бесконечно малых и основные леммы, к ним относящиеся, видимы впервые у Дюамеля.

Wolfius. Compedium elemlentorumMatheseos. 1711. WeidJeri. Institutiones Mathem. и другие. Русский учебн., напр., Аничкова. Философия Мат. акт. бесконечно малого. Iacopo Belgrado (1704-1789). De utriusque analyseos usu 1661-62, см. Cantor. В. IV. § 651. Cantor В. ПІ 270-271 и др. места Ch. Wolff (1679-1754).

Бертран Женевский. 1731-1812. L. Bertrand. Developpeinent nouveau de la partie elementaire des. Mathematiques prises dans toute son etendue. A Geneve. 1778. L. Bertrand. Elements du Geometrie. Paris. 1812. См. также Cantor. В. IV Bobynin. Lehrbuch der Geometrie § 382.

De la Caille. Lectiones elementares Mathematicae. 1762.

О взглядах сенсуалистических см.: Encyclopadie methodique, mathematiques. Elements de Geometrie и др. Condillac. Traite des sensations. Paradoxes и друг. Об энциклопедистах - Морель, Дидро и энциклопедисты. 1882.

До Кеплера взгляд этот у Штиффеля - Aritlunetica integra Noriin. 1544.

Datis ordinatis eliam quaesita sunt ordinata, см. выше. Прим. ред.

235

Прим. ред.

ш Kastner. Anfangsgrunde des Arithmetik. Geometrit ebenen und spharischen

etc. Gottingen. 1786. О Кестнере: Cantor. III. 576. 237 При уменьшении AB, OD будет увеличиваться, a CD уменьшаться, поэтому ABC будет становиться меньше относительно ABO. С

Прим. ред.

д'Аламбер (1717-L783) см. в Encyclopadie metliodique; Limite, также Melanges de lilt, d'histoire et de la pliilosophie. Nouv. ed., t. V. Amst. 1767. Cantor-Bobynin. Статья Бобынина "Элементарная Геометрия и ее деятели во второй половине XVIII в", есть и на русском языке. Лейтмотивом предреволюционной мысли является идея прогресса; человечество мыслится в прогрессирующем развитии, в движении к этическому или экономическому совершенству, при котором оно постепенно приближается к идеалу, но никогда его окончательно не достигает. Это идея исторического предела, вполне соответствующая пределу математическому, впервые определенно формулируется Тюрго в "Рассуждении о всеобщей истории" и развивается Кондорсэ в его "Эскизе исторической картины прогресса человечества".

Идея предела выступает также в маймоновском понимании кантовской вещи в себе, которая является предельным понятием, пределом полноты сознания или сознанием иррационального предела рационального познания.

Соломон Маймон (1757-1800). Versucli uber die Transcendental philosophic (1790). Виндельбандг, II, стр. 168.

Ак. Гурьев (1766-1813). Опыт усовершенствования элементов геометрии. Спб. 1798, стр. 34.

Такое же определение Бланше (Blanschet); о нем Cantor-Bobynin. § 351, см. также Гурьев. Основание Геометрии. Спб, 1811.

De la Schapelle. Institutions de Geometrie. 1765.

Simon I'Huillier (1750-1840) L'Huillier. Principiorum Calculi differentialis et integralis expositio elementaris. Tubingen. 1793, также на французс-ком языке. Berlin. 1786.

245 См. § 8 настоящей работы, таюке Russel. Einfuhrung in die Matliemat. Philosophic. Munchen. 1923. Кар. 10. [Рассел. Введение в математическую философию. М. 1996.]

213 Legendre (Blanche!), Elements de Geometrie.

Площадь круга равна площади треугольника с основанием, равным длине окружности, и с высотой, равной радиусу.

Lacroix. Elements de Geometrie a 1'usage de l'Ecole Centrale des Quatres nations. 1796-1799, в связи с ней: Essai sur l'enseigneinent general et sur celui des mathematiques, Paris. 1816, особая переработка у Gamier. Geometrie. 1813.

2,16 Гурьев. Опыт исследования элементов Геометрии. Спб. 1798.

Периметры вписанного, описанного многоугольника, длина окружности; при этом следует использовать постулат Архимеда: выпуклая объемлющая более объемлемой. В этом направлении следует переработать изложение Остроградского, (Руководство по Геометрии), Семашко (Элементарная Геометрия).

Наиболее полные и отделанные: старый - Rouclie et Comberousse, новый Niewenglowski et Gerard. Paris. 1900.

Вне сомнения, элементарная учебная литература создала и теорию пределов введения в анализ. Основные леммы об эквивалентности впервые встречаются у Дюамеля. Duhamel. Elements de Calcul Infinitesimal. Paris. 1860.

Давидов. Элементарная Геометрия. Поел, изд. 1922, стар. изд. 1867 н др.

Киселев. Геометрия. Москва, 1914.

Кант. Критика чистого разума, пер. Лосского.

233 Мах. "Механика" и др. сочинения.

Авенариус. Критика чистого опыта. Спб. 1905 г. Prolegomena zu einer Kritik der reincn Erfahrung. Lpz. 1876 и др. работы.

Cantor. Gnindlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Его работы в Acta Met. II. Math. Aim. 18 (1881) 21 (1883), [Г. Кантор. Труды по теории множеств. М. 1985.]

Идея определения предела фундаментальным рядом впервые выдвинута Мераем, Meray. -Remarques sur la nature des quantites etc. Revue des Soc. Scien, Sc. Math. XIV. 1869. 280. См. теорию пределов в итальянских учебниках. A. Sannio et Е. d'Ovidio. Elementi di Geometria. Napoli, 1916. G. Veronese.'Elementi. Padova, 1901. Также учебники Энриквеса, Амальди, Паолиса.

256 Энриквес. Вопросы элементарной математики. Спб. 1913. Статья де Витали.: Постулат непрерывности и его применение к Элементарной Геометрии, стр. 133. Дедекиид. Непрерывность и иррациональные 'гасла. Одесса, 1909.

25' Дальнейшее обобщение порядкового понятия о пределе см. Bertrand Russell. Einfuhrung in die Matlieinatiscli. Pliilosophie. Munclie'n, 1923. Кар. Limes und Stetigkeit. § 99. [Рассел. Введение в математическую философию. М. 1996. Гл.: "Пределы и непрерывность, стр. 94.]

Rami. Geometriae Libri XXVII. Basileae. 1569.

Евклид. "Начала", пер. Петрушевского; пер. Ващенко-Захарченко. Euclides Opera omnia ed. I-Ieiberg et Menge. Euclidis Elementa, Lipsiae 1883. [Пер. Мордухай-Болтовского. M. 1950.]

255 Высший род - (лат.). Прим. ред.

2011 Arnaldus. Nouveaux elements de Geometrie. Paris. 1683.

Естественный свет - (лат.). Прим. ред.

Descartes. Oeuvres par Amedee. Paris. 1835. Reguia ad directionen ingenii. [Декарт. Правила для руководства ума. Соч. в 2 Т. Т. 1. М. 1989.]

2М La logique ou l'art de Penser. Amsterdam. 1675. [А. Арно и П. Николь.

Логика или искусство мыслить. М. 1991.] 264 De la Chapelle. Institutions de Geometrie. 1765.

2Й Д. Мордухай-Болтовской. Энциклопедисты и теория пределов. Речь, произнесенная 18 ноября 1917 г. в Об-ве Естествоиспытателей при Донском университете по поводу 200-летия со дня рождения д'Алам- бера (не напечатана).

Кондорсэ. Эскиз исторической картины прогресса человеческого разума, русский перевод. Также: Генезис и история теории пределов (в настоящем сборнике).

Encyclopedic methodique des art etc. (Diderot). Axiomes, limite и другие статьи.

Песталоцци. Pestalozzi. Aiischaungslehre der Zahlenverhaltnisse. Zurich. 1803. О Песталоцци см.: E. Jaiiicke u G. Schurig. Geschichte des Unterrichts der Malhemalik in den Voikschulle. Gotha. 1888, s. 63.

Критика чистого разума, пер. Лосского.

Впервые умственный счет вводится Келлером, затем Бирманом. F. Koliler. Anweisung zuin Kopfrechnen. 1797. H. Biermann. Anieitung zum Rechueii imKopf. 1790, см.: Janicke. S. 53.

540 фраз типа: 19 раз по одному, 9 раз по 2 и 1 раз половина двух, 440 фраз: 9 раз 9 и 8 раз и часть от 9 есть 89 раз; 89 единиц есть 8 раз Ю и 9 раз десятая часть от десяти; 729 фраз типа: 3 раза десятая часть от 100 есть три раза 10,3 раза 10 есть 30 и т. д. Противники Песталоцци: Пассавант, Ннмейер и др. Janicke, s. 72. Последователи: Тиллих, Шмид, Стефани, Тюрк и др. Janicke, s. 78.

Трейтлейн. Методика геометрии, пер. Крогиуса. Pestalozzi. ABC der Anschanung oder Anschaungslehre der Massverhaintnisse, 1803, См. также статьи Schurig, Geschichte der Methode der Raumlehre im deutschen Volksscliulunterrichtc при упомянутой выше книге Янике.

т Кант. Критика чистого разума. О Канте см.: Куно Фишер. История философии. Виндельбанд. История философии, т. II и др.

Grube. Leitfaden fur das Rechnen etc. Berlin 1842. Много других изданий, о нем: Janicke, s. 112. Русские руководства: Лаульсон. Методика арифметики. Евтушевский. Методика арифметики.

Encyclopadie des Arts et des Metiers (Diderot). Об энциклопедистах см. Морей. Энциклопедисты. Основы эмпириков XVIII в. Дж. Локк. Опыт о человеческом рассудке. [Локк. Избранные философские произведения. М. I960.] Наиболее крупные представители - Кондильяк, Боннэ.

Наиболее крупный представитель - Дж. С. Милль (его система логики). Сюда следует отнести всю школу позитивистов, начиная с О. Конта.

Tibot. Lehrbuch der Geometrie. 1822.

Моя статья о Евклиде и Лежаидре. Из истории метода наложения в элементарной математике. [См. наст, изд.]

О ней см.: Schotten. Planimetrische Unterricht. В. II.

Функциональный мотив, но без арифметизации, можно уловить и в одном вольфиаиском учебнике XVIII века, отличающемся некоторой оригинальностью среди многочисленных учебников этой школы. Horvath. Elemlenta Matlieseos Tynaviae. 1773. Теорему I "Начал" Евклида Хорват формулирует так: "Если в каком-либо треугольнике ABC увеличивается угол А, причем сторона АС переходит в АС', сторона противоположная возрастает, т. е. ВС' > ВС и наоборот и т. д.

Кроме евклидовского Хорват приводит еще и такое рассуждение: "... ибо чем больше возрастает Z А в Д ABC, тем более расходятся крайние точки В и С, тем более ВС приближается к сумме сторон АВ и ВС и, наоборот, чем больше убывает угол А в Д ABC, тем крайние точки В и С больше сходятся, тем сторона ВС больше приближается к АВ.

Аксиома: если

АС = АС' = АС" = Ь,

то если Z С"АВ < Z CAB = а < Z С'АВ, то ВС" Z ВС = a < ВС' и обратно, если ВС" < ВС = а < ВС', то Z С"АВ < Z CAB = а < Z С'АВ

Если a = b, то Z CAB = Z СВА. Доказательство:

Пуста Z CAB = а и Z CBA = (i. Предположим, что |3 > a , возьмем С' так, что Z CAB = (3 и Z С'ВА = a; ДАВС = ДАВС' => AC' = AC = b и ВС' = ВС = а, что противоречит аксиоме. Аналогично отбрасывается |3 < a . Прим. ред.

Шеллинг и Гегель, см.: Куно Фишер. История новой философии.

G. W. Hegel's. Werke. Berlin. 1883. Wissenscliaft der Logik.

Гегель. Логика, пер. Чижова [и позднейшие издания]. Старые сочинения о Гегеле: Karl Fischer, Michelet и др.

I. Beskiba. Lehrbucli der Geometrie. Wien. 1826.

Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des Mathematiques. A Geneve. 1778.

Его же. Elements de Geometrie. Paris. 1812. См. о нем: Cantor. В. IV. (Bobynin). Lehrbucli der Geometrie § 382.

См. главным образом Baltzer: Die Elemente der Matliematik. XII. Leipzig. 1870. Правильный взгляд на бесконечно удаленную точку следует от-нести к Гауссу. Lettre de Gaussa Schumacher, t II, p. 268.

Kastner. Anfangsgninde der Aritlimetik, Geometrie ebenen und spharisclien etc. Gottingen. О Кестнере Cantor. Ill, p. 576.

Или несобственные, согласно современной терминологии. Прим. ред.

Reye. Die Geometrie der Lage и другие руководства по проективной геометрии: Staudt, Staudigl, Cremona, Enriques и др.

Прим. ред.

Poncelet. Traite des proprietes perspectives des figures. Paris. 1882.

Теорема Дезарга- см.: Brouillon project d'une atteinte и т.д. Oeuvres de Desargues pub. par Fondra. Paris. 1864.

Franz. Die Pliilosophie der Matliematik. Leipzig. 1842.

Scliotten. Inhalt u. Methode d. Planimetrische Unterriclits.

Delboeuf. Prolegomenes.

Legendre. Elements de Geometrie, Paris. 1837.

Clialibaus. H. M. Historische Entwickelung der speculativen Philosophic von Kant bis Hegel. Leipzig. 1839. Таїсясе Michelet и другие.

Философия природы.

N. Grassman. Die Ausdeliiuigslelire. Berlin. 1862.

V. Schlegel. Die Grassmanische Ausdehungslehre. Leipzig. 1896.

Riemann. Ueber die Hypotliesen, die der Geometrie zu Grande liegen. Gott. Abhandlungeii. XIII. 1868. Есть и на русском языке. [Риман. Сочинения. М. 1948.]

Высший род - (лат.). Прим. ред.

Bolzano. Paradoxen des Unendliclien. [Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Одесса. 1914.]

зо: Кантор. Учение о множествах. [Р. Кантор. Труды по теории множеств. М. 1985.]

303 Fontenelle. La geometrie de l'infini.