Метод исчерпываиия.
Математическое образование, 1928, № 6, с. 229-240.
1 Аристотель о бесконечности - "Pliys.". Cap. V. "De General, et Corrup". Cap. III.
г Примеры reductio ad infinitum — приведение к бесконечному (лат.) - можно найти у Аристотеля и у схоластиков.
Первым образцом такого доказательства является известное зеноновс- кое доказательство несуществования пустого пространства.
См., например, Таниери - "Первые шаги греческой науки". Укажем также доказательства существования первой материи и первого двигателя у Аристо-теля, - "Мех.", гл. XIV, с. 1; "Phys." VIII. С. 49. 3 О статическом характере античной мысли см: Шпенглер - "Загат Европы". [М.1993] Т I. А Определение Д'Аламбера предела см.: "Encyclopedie methodique des arts etdes metiers" (Diderot), статья Li mite, также Melanges, § XIV. Об истории пределов см. мою статью "Генезис и история пределов". О Д'Аламбере см.: Bobynin. "Elemente der Geometrie" в Cantor. "Vorlesungen ub. Ges. der Math", В. IV, Ab. XXII, S. 355, также В. Ш, статья Бобынина — "Элементарная геометрия и ее деятели во второй половинеXVIII века", "Журнал мин. нар. проев", сер. XII, 1907,№ 1, отдел 2.5 См., напр.:, Поссе. "Курс дифференциального и интегрального исчисления", § 5. У Коиш ("Уроки диф. и инт. исчисления", пер. Буняковско- го, С. 1831) этот пункт не выявлен. i То есть для VE>0 нетолькоЗп, так что|Ап-А|<Е, но 3N , так что для Vn>N |AN- А|<є . Прим. ред.
Каитор. Учение о множествах. Новые идеи в математике. Его работа в "Math. Ann.", 21, 23, и "Acta Math.", t. П. [Г.Кантор, Труды по теории множеств. М. 1985]
У Клавия впервые выступает этот постулат. См.: "Euclidis elementorum libri XVT'. Auctore Christophoro Clavis. Francfurli. 1654. См. также Эн- рикес. "Вопросы элементарной математики". С. 1915. С. 220, статью Вайлати: "Учение о пропорциях". "Мат. обр.". 1916 № 7-8.
Arist. "Phys." VIII.
1. Tiedemann. "Geist der Spec. Philos". B. 111. S. 542. Thorn Aq. p. 1, q. 7, a. 2.1 Sent, des 43, q. 1, Quodex ub. g. a. 1. lib. 10 q. 2. a. 4. XI Met. lec. 10. Аргументы Прокла за вечность вселенной у Phtiipon 'a "Contra Proclum de aetemilate rnundi. Ven. 1535. Схоластики, пытаясь примирить Аристотеля со св. писанием, признавали высказываемое Аристотелем за передачу чужого мнения. Thom. Aq. 1 p. q. 46.См. "Аналитики Аристотеля". Конспект в "Логике" Владиславлева. [Met. 1005 Ь20] Об Аристотеле Britmchvigg. "Les elapes de la philosophic inathematique". Alcan. Paris. 1912. p. I, ch. V. Milhaud. "Aristote et les mathematiques". "Archiv furGesch. der Phil", t. XVI. 1903.
Brunschvigg p. I, ch. Ill, ch. IX.
Обэлейцахсм. Arist.:"Phys", 1-4,"DeCoelo", ПІ, 1."Desophis. el.",28. Simplic. in "Phys". Arist. 8, 9, 22, 24, 25. SextEmpyr. Pyrrh. hyp. Ш, 65. "Adversus mathematicos", X, 46.
Понятие переменного некоторое время остается связанным со временем, всякое изменение мыслится во времени. Время является универсальным независимым переменным у Баррова и Ньютона (1643-1727). Barrow. "Lectiones oplicae et Geometriae".
Newtoni. "Theoria fluxionum" (теория ({шюксой, фр. пер. 1740 г.) Ньютон. Математические работы. M.-JI. 1937. см. Cantor. "Vorlesungen Ps." ІП.
"Начала Евклида", русские переводы; Петрушевского, (1833), Ващенко-Захарченко (1880). [Мордухай-Болтовского (1950).] Немецкие: Lorenz. Halle 1840.
" "НачалаЕвклида". О методе исчерпывания: Klugel. "Math. Worterbuch. Exhaustionsmethode".
Выражение "исчерпание", "метод исчерпывания", видимо, впервые встречается у Такэ, который, выявляя общие схемы метода исчерпывания и устанавливая с помощью его положения общего, абстрактного характера, ведет его к превращению в метод пределов.
Andreae Taquet е. soc. jesu "Opera mathematica". Losani. 1666. Taquet. "Elementa Geometriae planae et Solidae". Antverpiae. 1684.
Паппус во времена Диоклетиана (284-305 по Р.Х.)
"Collect.
Max". IV, II. Старое издание Коммадина Veil. 1589; Hultscz. Vol. I. XIII. Berolini. 1875-78.Основа их: Legendre. "Elements de Geometrie". Давидов. Элементарная геометрия. 1922.
Методическая переработка: Lacroix "Elements de Geometrie a 1'usage de FEcole centrale des Qualre nations". Paris. 1814. К этому типу относятся известные учебники: Rouche' etComberousse, Niewenglowski, Hadamard (хотя не вполне). О Лежандре и его учебнике см.: Bobynin. "Lehrbucher".
"Опыт усовершенствования элементов геометрии". Спб. 1798. "Основа-ние геометрии". Спб. 1825. О Гурьеве (1766-1813) см.: Bobynin. S. 319.
Archimedis "Opera" (ed. Heiberg). Архимед (287-212 до P. X.). [Архимед. Сочинения. М. 1962.]
"О шаре и цилиндре", пер. Петрушевского. [Архимед. Соч. М. 1962.]
MilhaucL "La methode d'Archimede". "Rev. ScienL". 1908.
См. литогр. записки Д. Мордухай-Болтовского "Курс диффер, и ин- тегр. исчисл.". Т. I, Варшава. 1915. Также четыре лекции по филосо-фии математики. (Наст. изд.).
Д. Мордухай-Болтовской. "Философско-математические идеи XVI в." [наст, изд.]
Kepleri. Novastereomelria doliorum. Изд. 1615. Также в "Opera omnia." Francfurti 1871, vol. IV, p. 537-538. [Кеплер. Новая стереометрия винных бочек. М. 1935] Bon. Cavalieri. "Geometria indivisib." Bononiae. 1635 (1653). [Кавальєри. Геометрия неделимых. М.-Л. 1940] Walisii. "Arithmetica infinitoniin". Opera Oxoniae. 1693. Аксиоматику исчисления бесконечно малых актуальных см. у I'Hopital. "Analyse des infin.
.petite". Paris 1759. [Лопиталь. Анализ бесконечно малых. М.-Л. 1935] Историю исчисления бесконечно малых - в книге: Gerharclt. "Die Entwickelung der Hoheren Analysis". Halle, 1855. В "Vorlesungen" Cantor'a В. II, k.78. "Infinitesimal Betrachtung". Kepler. Cavalieri. Из старых книг: Knorre. "Dissertatio geometrica de methodo exliaustiones et indivisibilium", Wittenburguae, 1692.
Об апагогических доказательствах - моя статья в "Ростовском науч-ном вестнике" за 1922. [См.: "Ненатуральное и апагогическое доказательство в прошедшем и будущем" в наст, изд.] Аристотель об апагогических доказательствах "Analitica Pos", lib, I; см.
также пор-роя- левскую логику: "L'art de penser" (Арно и Николя). [А. Арно и П. Ни- коль. Логика или искусство мыслить. М. 1991] Примеры выпрямленных доказательств (с помощью введения бесконечно малых) молено найти в книге Ozanam. "Cours de Mathematiques". Paris. 1720; lect. XI.Эта форма вырабатывается впервые Дюамелем - Duhamel. "Elements de calcul infinitesimal". Paris. 1860, ch. IV, V, VI.
Обработка принципа Кавальєри в смысле современных идей - см.: Weber-Wellsein. "Энциклопедия элементарной математики", изд. Ма- тезис. Одесса. Т. II, книга III, § 90. Принцип Кавальєри, стр. 262; см. Также: Heinze. "Genetische Stereometric".
Торичелли (1608-1647). "De dimensione parabolae" в "Opera Geometrica". Florence. 1644. О нем Cantor. "Vorlesungen". B. IL S. 883.
25 Квадратура параболы Архимеда: Arch. "Opera" (ed. Heibug), I, 288. [Архимед. Соч. M. 1962] Cantor. "Vorlesungen". В. I. К. 29, S. 289. См. также Duhamel. "El. de calc. inf.", ch. V, p. 29.