§ б. Апагогическое доказательство у Евклида,
Евклид довольно широко пользуется так называемым приведением к абсурду, иначе говоря, апагогическим доказательством, состоящим в том, что положение А доказывается опровержением противного не-А с помощью вывода из последнего невозможного следствия.
Этот прием доказательства, конечно, пускает свои корни с софистики58. И в самом деле, именно он является наиболее удобным для софиста. К признанию высказанного софистом положения собеседник приводится, доходя вместе с софистом от противоположного своему положения к абсурдному следствию. Именно этот способ давал наиболее легкий способ одурачивания: принуждением его остановиться на явно нелепом положении, возбуждающем улыбки присутствующих. В разделительном силлогизме: первая посылка - А есть іти В или С или D - давалась неполной, опуская почему-либо менее бросающееся в глаза "... или Е". Вторая посылка - D не есть ни В, ни С - доказывалась извлечением из "А есть В", "А есть С" нелепостей. Тогда заключением этого условного силлогизма (modus lollendo ponens) получалось "А есть D", откуда тотчас выводилась нелепость, являющаяся непосредственно очевидной.Начало апагогического доказательства должно отнести к элейцам. Этим приемом Парменид доказывает, что бытие не происходит и ие унич-тожается. Основная аксиома: небытие не может быть бытием (ex niliilo nihil fit). Если А происходит из В, то В становится А, т.е. небытие становится бытием. Бытие не уничтожается, так как бытие всегда есть бытие.
Античная математика не заботится о системе геометрии, о каких- либо принципах или общих свойствах пространства, из которых вытекают свойства геометрических фигур. Она только старается убедить читателя в истинности подмеченных свойств.
Можно сказать, что математик эпохи Платона, Аристотеля, Евклида терроризован софистами, он боится каждую минуту попасть в расставленные последними силки и борется или, вернее, строит укрепление против их нападений по всем правилам искусства, ими же самими выработанным.
Чтобы заставить согласиться со своими теоремами, он должен прежде всего заставить, не приводя доказательства, согласиться со своими аксиомами и постулатами, и, конечно, он может тем скорее рассчитывать на это согласие, чем меньше этих аксиом и постулатов. Но сокращение последних должно вести к ограничению свободы выбора логических путей, ведущих от них к теоремам: наряду с прямыми доказательствами приходится применять и косвенные, апагогические.
Современный математик (вне сферы чисто аксиоматической работы) заинтересован не столько в сокращении начальных звеньев логической цепи, сколько в умножении конечных.
Трудность выставляемых современными математиками проблем является другой причиной трудности разыскания логических путей и необходимости привлечения [наряду] с прямыми доказательствами в широкой мере и косвенных.