§ 7. Типы апагогических доказательств.
Апагогическое доказательство отличается от прямого тем, что оно наряду с математическими аксиомами пользуется логической аксиомой, которой не пользуется прямое.
Всякое апагогическое доказательство предполагает приложение закона исключенного третьего.
Следует доказать А.
Предполагается, что имеет место не-А и отсюда выводится абсурд - отрицание верного положения С - не-С. Таким образом, уже в начале доісазательства утверждается альтернатива: А или не-А, и ничего третьего. Обратно, если в начале или в самом ходе доказательства применяется закон исключенного третьего, то или доказательство ведется от противного, или последнее содержится в доказательстве как составная часть. В самом деле, приложение его предполагает в начале и в ходе доказательства альтернативу В или не-В и снятие одного члена альтернативы путем доказательства его невозможности. Если снимается не-В тем, что ие-В приводит к не-С, к отрицанию заведомо верного положения, то молсем сказать, что положение доказывается апагогически. Если снимается В, то имеем апагогическое доказательство в замаскированной форме.Заменою В через не-(не-В) мы получаем его в чистой форме: не-В доказывается приведением не-(не-В) к не-С (абсурду).
Получаемый в конце апагогического доказательства абсурд может быть трех родов:
противоречие с уже признанной аксиомой или уже доказанным положением;
противоречие с условием теоремы;
противоречие со сделанным предположением.
Чтобы яснее и глубже вншшуть в конструкцию каждого из этих типов, мы ограничимся только простыми апагогическими доказательствами с единичным приложением в самом начале закона исключенного третьего.
Доказать А.
Предположим не-А - абсурд.
Если принять обозначение:
Если В, то А через В, А,
то можно для первого типа наметить схему:
В, А; В - не-А - не-С. .
В "Началах" Евклида2' пример такого простого разомкнутого доказательства - 27-е положение книги I: о параллельности прямых при равенстве накрестлежащих углов.
Отрицание приводит к противоречию с теоремой о внешнем угле треугольника.Десятая теорема III книги - о пересекаемости кругов не более, чем в двух точках. Отрицание приводит к противоречию с 5-й теоремой III кн. о неимении у пересекающихся кругов общего центра.
17-я теорема XI книги - о перпендикулярности прямой пересечения двух плоскостей, перпендикулярных к третьей, к этой последней. От-рицание против 13-го положения XI кн. (о возможности восстановления только одного перпендикуляра к плоскости). Примеров простых разомкнутых доказательств, приводящих к отрицанию аіссиом, очень много. У Евклида обычно такой аксиомой является 9-я I книги: целое больше части, причем доказательство носит полуинтуитивный характер. Таковы доказательства предложения 2-го III книги о том, что прямая, соединяющая две точки окружности, лежит внутри ее, предложение 11-е о прохождении линии центров через точку касания кругов, предложение 18-е и 19-е книги 111 и 36-е книги VII о том, что наименьшее число, содержащее простые числа А, В, есть произведение АВ, - отрицание приводит к тому, что меньшее число содержит большее; к тому же приводит и отрицание 1-го положения книги VIII.
Второй тип апагогического доказательства, сомкнутый на условии:
В, А В, не-А - не-В, не-А.
Примеры: 25-е положение VII книги: если два числа взаимно просты, то число, содержащееся в одном из них, будет взаимно простым с другим. Отрицание приводит к признанию А и В не взаимно простыми.
Того же типа 26-е и 30-е положения III книги.
Третий очень редкий тип - сомкнутый на заключении, причем может быть два типа:
В, А-В, не-А-А.
Этот тип встречается у Евклида30 только один раз, а именно в доказательстве 12-го положения IX книги "Начал": "Пусть будет сколько ни есть от единицы непрерывно-пропорциональных чисел ABCD, говорю, что всякие первые числа, кои содержатся в D, будут содержаться и в А".
Говоря современным языком,
1, А, В, С, D -
члены геометрической прогрессии
1:A=A:B = B:C = C:D;
следует доказать, что всякий простой делитель D - делит также и А.
Евклид предполагает противное, что Е ие делит А, и опровергает это предположение, выводя из него: Е делит А.
Этот редкий прием употребляется и Саккери в его "Euclides ab о тлі naevo restitutus" при его попытке доказать 5-й евклидов постулат.
Саккери принимает за данные 26 первых положений "Начал", допускает предположительно ложность этого постулата и старается вывести из этого положения верность самого постулата.Второй подтип - замкнутый не в начале.
Из не-А извлекаются двумя путями два противоположных заключения'. Е и не-Е.
Первый подтип можно рассматривать как предельный ко второму, когда Е совпадает с А
В, А В - не-А - Е,
В - не-А - не-Е
Пример: положение 7-е I книги: "Если концы соединить с точками С и D по одну сторону, то расстояния СА и СВ точки С от концов АВ не могут быть равны, каждое каждому, расстояниям D А и DB точки D от концов АВ".
AD = AC; ZACD = ZADC, ZADC< ZBDC, ZBDC> ZBCD;
BD = DC, Z BDC = Z BCD,
что противоречит предыдущему.
Сложному апагогическому доказательству второго порядка отвечает схема:
В, А; В, не-А - D, С - абсурд.
D, не-С - абсурд.
Доказательство может быть дважды разомкнутым, когда оба колена приводят к отрицанию доказанного положения или аксиомы.
Может быть замкнуто-разомкнутым, если в одном колене имеется замкнутое, в другом разомкнутое апагогическое доказательство.
Наконец, возможен дважды замкнутый тип.
При этом будем иметь подтип, смотря по тому:
имеет ли место замыкание на условии или на заключении,
на D, на В или ином положении Е.
Дважды разомкнутое доказательство употребляется Евклидом в положении 24-м III книги: подобные сегменты АСВ и CDF, построенные на АВ = СЕ, равны.
Если нет, то С: один вмещает другой; если не-С, - пересекаются.
Первое предположение приводит к противоречию с 23-м положением III книги, второе - с 10-м III книги.
Пример замкнутого на условии: так обычно доказывается теорема, обратная теореме: в выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов = 2d.
А именно, если сумма = 2d, то можно описать около четырехугольника окружность. Проводя окружность через три вершины, мы должны иметь четырехугольник внутри или вне круга; в обоих случаях доказывается, что сумма противоположных углов не = 2d.
Пример замкнутого на положении Е доказательства дает метод ис-черпывания Евклида (предложения 1, 5, 11, 12 XII книги).