§ 5. Требования пор-роялевской логики.

С течением времени доказательства "это так" все меньше смущшот ум, и у рационалистов сомнение касается только доказательства от противного, которое у них не только получило полное право гражданства, но и представляет наше главное орудие доказательства.

Но отзвуки этих нападений антиматематиков имеются у Арно.

Арно23 вооружается пе только против апагогического доказательства, но и против доказательств слишком удаленных (Demonstrations par des voies trop eloignes).

"Этот недостаток, - говорит он, - общий для всех геометров.

Здесь, конечно, заключается нечто совершенно иное, чем леэ/санд- рово требование простоты доказательства.

Как доказательство, грешащее против этого правила, Арно выставляет евклидово доказательство:

5-го положения 1 книги "Начал" (на школьном средневековом жаргоне: elefugia).

В равнобедренном Д ABC:

углы ABC и АСВ при основании ВС равны между собой;

если продолжить равные стороны АВ и ВС, то углы, образованные ниже основания, DBC и ЕСВ, будут также равны.

Евклид доказывает, беря на продолжении BD стороны АВ произвольную точку F и на АЕ точку G так, что AG = AF, соединяя прямыми F с С и G с В и затем доказывая, что A ACF = Д ABG и Д FBC = Д CBG.24

47-го положения I книги, т.е. теоремы Пифагора.

Арно представляется совершенно невероятным, чтобы доказательство равенства углов при основании равнобедренного треугольника, т.е. такой простой, почти очевидный факт, требовало столь сложного логического аппарата, зависящего от иных, чем данный, треугольников, получаемых через продолжение сторон данного, как это делает Евклид25. Арно кажется очевидным, что простая истина и просто доказывается.

Впрочем, в это верили и Лежандри и его современники.

Но Арно верит и в то, во что уже не верил Лежандр, а именно, что для всякого простого положения должно быть не только простое, но и натуральное доказательство.

Что такое натуральное доказательство, Арно не определяет, но вид-но, что это что-то приближающееся к доказательству "почему?", о котором мы выше говорили, но в котором "существенность" свойств и причин заменена их "простотой" и "естественностью" - элементами, включающими, как и картезианская "очевидность", моменты психологические.

По Арно, доказательство пифагоровой теоремы у Евклида совершенно не натурально, ибо равенство квадратов, о котором в этом доказательстве говорится, в простейшей, натуральной зависимости находится не от равенства треугольников, употребляемых при доказательстве, а от пропорциональности линий, которую следует доказать, не прибегая ии к какой линии, кроме перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на основание треугольника.2'

Здесь Арно говорит как будто в духе Симплициуса, но его натуральное доказательство - это не что иное, чем вывод свойств бога из его определения.