§ 4. Доказательства: что это так, и почему это так.

Аристотелевское определение": "знать - это иметь доказательство не из акциденций", схоластикой толкуется уже, чем его понимал сам Аристотель, разумея акциденцию в чисто логическом смысле.

Акциденциальное, случайное свойство, по Аристотелю, то, которое может оказаться в виде, принадлежащем роду А, и может не оказаться.

Ему противополагается существенное свойство, присущее только видам рода А.

Аристотель привносит в логику элемент времени.

От существенных свойств Аристотель требует, чтобы они были присущи видам только данного рода, причем всегда.

Схоластическая мысль, с одной стороны, освобождается от пут времени, с другой стороны, идет дальше в смысле предъявления требований к существенным свойствам как основе знания.

Она ищет не только устойчивые признаки, могущие служить определением, но и такие, которые обладают своего рода приоритетом, выступая в мысли и раньше и выпуклее, претендуя достигнуть, так сказать, нутра вещи. Из них другие свойства вещей должны выводиться.

Понятие о существенных свойствах подвергается метаморфозе, при которой переступается сфера чисто логического анализа даже с аристоте-левским временным элементом и за существенными свойствами усматривается уже онтологическое значение.

После этой длинной характеристики схоластического настроения читатель поймет атиматематиков18 XVI и XVII веков. С яростью набрасываясь на математику, они приводят в пользу своих антиматематических взглядов авторитеты древних, толкуя их, конечно, по-своему.

Прежде всего приводятся слова Прокла: "геометрия менее всего познает причины".

Всякое знание разъясняет (demonstrat) причину по эффекту, эффект

по причине (causam per effcclum, vel effectual per causam).

именно в этом последнем смысле, так что математик обвиняется в том, что дает не те логические обоснования, какие следует дать.

Ссылаются и на Сенеку, который говорит, что аргументы геометрии не убеждают, а вынуждают. Соглашаясь с первой аксиомой "Начал" Евклида, антиматематик недоволен доказательством, на ней основанным. Он не видит в нем знания, ибо всякое знание - это изучение существенных причин (principia per se).

Причина равенства А и В вовсе не это третье, но только их количество, и не существуй это третье, они все равно были бы равны. Отношение равенств А к С, В к С с чисто аристотелевской точки зрения можно отнести к существенным свойствам, но схоластическая мысль видит тут внешний характер, ничего не говорящий о сущности А и В и относит их к несущественным свойствам.

Характерна критика 1-й теоремы I книги "Начал" Евклида.

"Здесь, - говорит Сымплициус19, - доказывается, что треугольник равносторонний, из того, что он построен между тремя кругами и имеет все свои стороны проходящими через центры окружности. Никто здесь не видит истинной причины существования. Ведь не потому треугольник рав-носторонний, что он достроен между тремя окрулшостями, ибо, если бы он и не был построен между ними, все равно был бы равносторонним. Откуда следует, что такал причина - только случайная причина этого свойства. - Вот идеал математики: она должна, определив треугольник его существенными свойствами, затем извлечь оттуда и все его свойства совершенно так, как схоластик из определения бога50, как совершеннейшего существа, извлекает его бытие, единство и т.д. К чему Евклиду проводить круг, когда истинная причина всех свойств треугольника лежит в нем са-мом?"

Характерно также возражение Валлиса21 уже в XVII веке. Он соглашается с тем, что это так, что математики часто оперируют не per veram proximam causam (не через истинную блюкайшую причину), но прибавляет, что все-таки математика достаточно научна, ибо она выводит все из природы вещи per medium necessarium (через среднее необходимое), т.е.

Он сослашается, что доказательство первого положения "Начал" Евклида во всей своей целостности есть тол он (что это так) и что идеалом доказательства является тсо Stem (почему это так)22, и отмечает, что у Евклида имеются и последнего рода доказательства.

Но какой пример он приводит?

Вывод из определения: "круг - плоская фигура, заключенная в кривой с точками, равноотстоящими от центра", - заключение: радиусы равны.

Самая природа круга, говорит Валлис, требует, чтобы точки окружности равно отстояли от центра; немедленно отсюда следует уже по истинной и ближайшей причине, что все радиусы, которыми измеряются эти расстояния, равны. Анализируя доказательство положения Евклида, Валлис приходит к заключению, что и здесь последний вывод делается из истинной причины. Равносторонность треугольника выводится из того, что стороны равны, а вовсе не из того, что он оказывается в трех равных кругах, а равенство сторон, действительно, выводится из этого последнего, так что только промежуточные доказательства делаются не per veram causam.

Савилий, ссылаясь на Геминуса, находит, что ярким примером, когда математик учит не только тому, что есть, но и тому, почему это тале, является исследование пяти платановых тел; в то время, как в окружность можно вписать правильные многоугольники с каким угодно числом сторон, в сферу можно вписать только пять правильных тел; математик дает разъяснение, почему это так, исходя из существенных свойств многогранников.