ИЗ ПРОШЛОГО ПЯТОЙ КНИГИ "НАЧАЛ" ЕВКЛИДА.

§1. История 5-й книги "Начал" Евклида, содержащей античную теорию пропорций, это - история арифметизации геометрии, история эволюции идеи числа.

Для Евклида число - это "собрание единиц" (кн.

Но это только с нашей точки зрения, а не с точки зрения Евклида. У Евклида не только нет взаимно-однозначного соответствия между гео-метрическими величинами и характеризующими их числами, у него нет идеи рода, объемлющего видовые понятия геометрической величины и числа, которое является результатом только дальнейшей эволюции математической мысли.

Чисто формальная точка зрения противна Евклиду, определение класса совокупностью формальных законов ему чуждо.

Число и прямолинейный отрезок (в его терминологии - прямую) он не решается отнести к одному классу в силу тождественности формальных законов, которым подчиняются соответствующие операции над ними. Величины в I книге (см. акс. 8) взаимно налагаются.

Аксиомы: 1, 2, 3 ...

"Величииы, равные одной и той же величине, равны между собой".

"Если к величинам равным придадим равные, то получим равные суммы".

"Если от величин равных отнимем равные, то получим равные..." и т.д. все относятся не к числам, а к геометрическим величинам, к классу, в который отнюдь не входят числа.

Но что является в высокой степени интересным - это то, что эти и другие аксиомы лежат в основе арифметики Евклида, так как все арифметические действия над целыми числами Евклид сводит к действиям над особым классом отрезков, составленных из одного определенного, отвечающего единице.

Между отрезками этого класса и целыми числами существует вза- имно-одиозначное соответствие и оно позволяет Евклиду, идя в обратном современному направлении, свести не геометрию к арифметике, а арифметику к геометрии 1.

§2.

Опред. 3 - 5-й книги.

Отношение есть взаимная некая зависимость двух однородных величин по их количеству (пер. Петрушевского).

Понятие же о пропорциональности имеется как для величин, таки для чисел.

Для величин: опред. 6 5-й книги2.

Пропорциональными называются величины, имеющие то же отно-шение.

Для чисел: опр. 20 7-й книги.

Числа пропорциональны, если первое второго и третье четвертого

ГО

составляет то же кратное или ту же долю или ту же дробь

7-я книга проводится независимо3 от 5-й, так что не будучи в силах охватить эти два попятил пропорциональности чисел и пропорциональности величин в одном общем их объемлющем понятии пропорциональности вообще, конечно, в слитной форме у него имевшейся, Евклид дает эти понятия раздельно, так что общим у них остается только название.

Определение отношения величии, как и определения точки и прямой в первой книге, остается у Евклида мертвым, логически недействующим.

Рабочим определением является определение 5-е 5-й книги, определение тождественности отношений. "Величины, говорится, суть втом лее отношении, первая ко второй и третья к четвертой, когда равнократные первой величины и третьей, и равнократные второй величины и четвертой, взятые по какому-либо кратствованию, суть таковы, что попеременно каждая каждой, или купно равны, или купно больше, или купно меньше".

На алгебраическом языке

а: b = с: d

если при всяких цельк числах m, п таких, что

ma)nb также mc)nd

ma (nb также mc(nd

ma = nb также mc = nd

Что такое отношение - Евклид определяет'. Но тогда следует считать известным и то, что представляет тождественность, или одинаковость отношений.

Положение здесь то же, что с прямыми углами и площадями, ра-венства которых Евклид не определяет, но дает аксиомой 8-й 1-й книги3 признак равенства.

В духе самого Евклида следовало бы признать определение 5-е не определением, а аксиомой.

То же самое относится и к определению большего и меньшего отношения (опред.

а:b > о:d

если для некоторых целых т, п:

ma > nb тс < nd

История создания "Начал" Евклида для нас, собственно говоря, закрытая книга. Тем не менее, молено иногда, так сказать, ощупать психологию некоторых явлений, относящихся к "Началам".

Что произошло бы, если бы 5-е определение было объявлено аксиомой? Пришлось бы ее помещать в начале 1-й книги, пришлось бы пополнять систему определений этой книги и без того очень длинную, и идти против ясно выраженной тенденции помещать в начале книги только минимум определений и, вместе с тем, в силу методических затруднений - невозможности читателем обнять памятью всю этут таблицу - быть вы- нулсденным опять повторять эти определения в начале 5-й книги.

Дан сама та аксиома обладала бы степенью очевидности еще меньшей, чем 11—я 1-й книги"'. Автор, молено сказать, инстинктивно сделал то, что современные математики делают уже вполне сознательно: возвел не очевидную истину в определение, объявив; "называется А то, чему присущи свойства а, Ь, с...", между тем, как до тех пор называлось А то, чему были присущи свойства а', Ь', с'..., и из наличное™ а', Ь', с'..., улее извлекалась наличность а, Ь, с... или интуицией, или выводом, не укладывавшимся в строго логичную форму.

§ 3. Определение 5-е пускается в ход в теореме 4-й, а затем только в 7-й. 1, 2, 3, 5, б.7 Теоремы выводятся независимо от него и относятся к свойствам равнократных.

Доказанные на основании опр. 5-го свойства пропорций распола

гаются в табличку:

a:b = e:d->ma:nb = mc:nd теор. 4

а = Ь<н>а:с = Ь:е теор, 7,9

a|b<-»a:c|b:c теор. 8,10

ab:=c:d;c:d = e:f->n:b = e:f теор. II

a:b = c:d<-»a:b = c:d = (a+c):(b + d) теор. 12

a:b = c:d;c:d>e:f->a:b>e:f теор. 13

a:b = c:d;a^c-»b|d теор. 14

a:b = па: nb теор. 15

a:b = c:d-»a;c = b:d теор. 16

a;b = d:e b;c = e:f->a:c = d:f теор. 22

a:b = e:f b:c=d:e-»a:c = d:f теор. 23*

Приводим для ознакомления с характером доказательств 5-й книга доказательство 11-го предложения (т.е.

с,е-а,с,е (т.е.ma,тс,те)

d,f-b,d,f ('T.e.nb,nd,iif)

Так как а : b = с : d, то, согласно 5-му определению, если а^Ь, то

c|d.

Далее в силу того, что с: d = е: f , то по тому же определению, если

с|5,то e|f,

откуда извлекаем, что при а^Ь, и e|f и согласно определению 5-му, что a:b = e:f.

Приводим также доказательство положения 16 (ІХ-го свойства). Взяв равнократные

а,Ь а, Ь(т.е.та,тЬ)

c,d с, d (т. е. nc, nd)

мы имеем по свойству (VIII)

а: b = а: b a: b=c:d

откуда по свойству (IV)

с: d = а: b.

Но, так как c:d = c:d,To а: b = с: d откуда в силу (VII св.) при а ^ с также b^d. что согласно 5-му определению, дает;

a:c = b:d.

Эта теорема о перемене отношений может иметь смысл только в случае однородности всех четырех величин

(а, Ь, с, d).

Если взглянуть дальше в 6-ю книгу, то ясно представится, что Евклид признает пропорциональность только между величинами одного рода, а равенство отношений также между разнородными величинами. 1-е предложение 6-й книги формулируется так; "Два треугольника или два параллелограмма имеющие ту же высоту относятся, как основания. Но во 2-м предложении мы имеем на сторонах треугольника, пересекаемого параллельно основанию, пропорциональные отрезки, то же в 3-й теореме, где мы имеем четыре пропорциональные величины; стороны треугольника її отрезки, отсекаемые на третьей стороне биссектрисой. В 33-й теореме имеем равенство отношений углов и соответственных дуг. Следует думать, что в дальнейшем понятие пропорциональности подверглось обобщению. Неоднородные величины (а, Ь, с, d) стали называть пропорциональными, если

a:b = c:d,

например, углы и соответствующие дуги.

Известны две версии 8-го определения 5-й книги9:

Пропорция - тождество отношений.

Пропорция - подобие отношений.

Первое - отвечает случаю однородности пар (а, Ь) (с, d), второе - неоднородности.

В определении 6-м пропорциональных величин, как имеющих равное отношение, вне сомнения недостает условия однородности.

В седьмой книге для чисел доказывается свойство IV (теор.

Я выше сказал, что 7-я книга проводится независимо от 5-й. На это можно было бы возразить ссылкой на доказательство положения 19-го 7-й книги.

Если a:b=c:d, то ad=bc и обратно. Доказательство первой части ведется следующим образом. Положим ad=e, bc=f, ac=g.

Тогда согласно доказанному в 7-й книге независимо от 5-й: g:e=c:d и a:b=g:f,

Но согласно условию a:b=c;d, поэтому g;e=g;f, откуда е=Г.

В издании Лоренца10 здесь стоит ссылка на теоремы 11 и 9 первой книги, устанавливающие свойства II и IV пропорций, которой в переводе Петрушевского не имеется. Если сам Евклид имел в виду эти ссылки, т.е. применение результатов теории пропорции 5-й книги к числам в 7-й, считая числа входящими в класс величин 5-й книги, то является в высокой степени странным, почему ему тогда понадобилось выводить другие свойства чисел, которые молено было бы получить из той же 5-й книги.

Верней всего, что Евклидом применялась здесь скрытая арифметическая аксиома (этого рода аксиомы все находились под порогом созна-ния).

Если а составляет ту же часть Ь, что с - d, а с ту же часть d, что е - f, то а составляет ту же часть Ь, что е - f.

Если g составляет ту же часть е, что и f, то е и Г равны.

§ 4. В противоположность математикам XVII века, Клавий" (известный комментатор Евклида XVI в.) больше всего говорит не о 5-м, а 4-м определении 5-й книги "Начал". "Величины называются имеющими отношение одна к другой, кои, будучи взяты кратно, могут быть больше одна другой".

Определение же 3 излагается пространнее с пояснением примерами понятия однородности: "Когда две величины одного рода, как два чис-ла, две линии, две поверхности и два тела и т.д. между собой сравниваются относительно количества, т.е. того, что одно больше или меньше, или равно другому, то называется это сравнение или взаимная зависимость - отношением (Ratio sive proportio).

Определение 4-е представляет загадку более трудную.

Едва ли можно считать это другим определением того же, что дается уже 3-м определением.

Как и в других случаях, скорее всего здесь за определением рода следует определение вида.

Отношение одной величины к другой (опр.

Какое отличие между этими двумя отношениями? Если в том, что первое есть отношение не вообще однородных величин, а однородных величин специального типа, причем такого, который определяется свойством: кои, будучи взяты кратио, могут быть больше одна другой, то придется признать, что Евклид ясно сознавал постулат Архимеда12 и возможность величин, ему неудовлетворяющих. Между тем везде и в 5-й, и в 6-й, и в 10-й книгах он привходит неявно, в виде скрытой аксиомы, которых было очень много под порогом сознания Евклида.

Ващенко-Захарченко'3 основательно думает, что свойство, отмечаемое определением 4-м, приписывалось Евклидом всем однородным ве-личинам, но едва ли единственное назначение определения 4-го - это резче подчеркнуть то, что уже упомянуто в предшествующем определении, а именно, однородность величин. Следует еще отметить, что перевод М. Е. Ващеико-Захарченко... "если меньшую из них можно повторить столько раз, чтобы результат был равен или больше большей" нечто весьма отличное от того, что стоит у Петрушевского или Лоренца:

"Ein Verhaltniss zu einaner haben Grossen welche vervielfaltigt einander iibcrtreffen konneu'"4. В алгебраической символике, по Ващенко- Захарченко, утверждается существование целого ш такого, что

гпА>В (m -1) А < В

по Петрушевскому и Лоренцу для данного целого п - такое целое

иг, что

пг А > пВ (ш -1) А < пВ

При таком понимании, естественным является предположение, что "отношение 4-го определения" относится к таким же величинам, что "отношение 3-го определения". Сравнение количеств двух величин самого общего характера дает нам уже отношение. Таковым является отношение, дающееся элементарным сравнением, выражаемым словами больше или меньше.

А>В В<А.

Таким также является отношение, которое представляет результат того уже более определенного сравнения, который мы в наше время выражаем числом. Это сравнение разбивается иа бесконечное число сравнений элементарного типа, относящихся не только к самим А и В, но и их кратным, в алгебраической символике, к определению для всех п таких ш, что

mASnR (m - 1) А < пВ

Можно сказать так: как только для всех п мы будем мыслить такие in, что niA > пВ, (m - 1) А < пВ мы получим не отношение, вообще, а отношение А:В.

Совершенно иначе разъясняет эту загадку Клавий.

По Клавию, что такое отношение, вполне разъясняется третьим определением. За этим определением ставится вопрос: все ли однородные величины имеют отношение?

В определении 4-м - Клавий видит отрицательный ответ.

Род величин он разбивает на два вида - находящиеся и не находящиеся между собой в отношении.

Первые это те, которые удовлетворяют постулату Архимеда, каковы прямолинейные отрезки, площади, объемы, прямолинейные углы. Вторые это те, которым присуще прекрасное свойство, состоящее в том, что прибавление к а-а, а... не дает возможности превзойти Ь.

Такими величинами, по мнению Клавия, является угол касания15, образуемый двумя касающимися кругами, и прямолинейный угол. Присоединение к углу касания других ему равных углов касания никогда не может, якобы на основании 16 теор. ІП книги дать прямолинейный угол или угол больший его.

"Неправильно, замечает Клавий, думают те, которые под выражением "величина одного рода" в евклидовом определении разумеют те, которые заключаются в одном ближайшем роде (sub eodem genere proximo sive infirno), так как для углов касания и прямолинейного угла таким genus proximus16 является угол".

§ 5. Комментаторы Евклида XVI века не критикуют, а разъясняют Евклида; высказываемое ими мнение выдается или за мнение Евклида, или за мнение, согласное с его взглядами.

В XVII веке выступает Euclides reslitutus'7. Евклида не только комментируют, его исправляют. Пополняют систему аксиом, исправляют определения, меняют части всей логической постройки и делают попытки полной ее перестройки.

Арце18, Озанам19, Такэ20, Борелли21, Саккери22, Арно - вот ряд ступеней все более и более существенных перестроек "Начал". Борелли обращает особенное внимание на 5-ю книгу. Имя его связано с историей теории параллельных ввиду очевидного влияния его на Саккери. Но сам он здесь находится еще в большей зависимости от Клавия, и вероятно, и от своих современников.

В его Euclides restitutus интереснее и оригинальнее всего исправленная 5-я книга Евклида.

Он резко критикует 5-е определение 5-й книги.

Всякое научное определение должно ясно изложить природу опре-деляемой вещи через свойство возможное, истинное, первое и известнейшее, которым определяется вещь и отличается от какого-либо другого объекта. Свойство же, излагаемое в евклидовом определении таково, что "нельзя узнать, дается ли оно в действительности, так как мы не можем определить дается ли это бесконечное число равнократиых единовременно больших или единовременно меньших остальных, так что не знаем, верно ли оно...". В определении же отношения и пропорции он видит неопределенность и неясность, он подчеркивает неопределенное "quidam"23 в опреде-лении отношения, указывая на возможность не одного, захватываемого определением, а многих взаимных зависимостей и то, что здесь дело идет о специального типа зависимости и равным образом в определении пропорциональности имеется в виду подобие определенного частного типа. Интересна критика Борелли, относящаяся к, так сказать, преждевременной арифметизации теории пропорций, сводящей определение пропорциональности к равенству показателей отношений (denominatores proportionis), получаемых делением я на А и с на d.

Говоря в своей критике о числах, Борелли разумеет под иррациональными числами только корни из рациональных чисел.

Невозможность представления всякого показателя отношения таким числом приводит его к заключению, что неверно, что всякое иррациональное отношение можно считать числовым.

Пропорции чисел и геометрических величин у него включаются в пропорции величин вообще, к которым и относится исправленная 5-я книга "Начал".

Соизмеримая пропорциональность, т.е. пропорциональность двух пар соизмеримых величин (а, Ь) (с, d) им определяется так, как Евклид определяет в 7-й книге пропорциональность чисел24.

Соединительным звеном между соизмеримой и несоизмеримой пропорциональностью является определение неравенства отношений:

где а, Ь несоизмеримы, а с и d соизмеримы.

В алгебраической символике это определение выражается так:

і

—b п '

если с : d=in : п, где т и п целые числа.

Словесная формулировка: отношение а к Ь больше, чем с к d, если а больше той части Ь, какую составляет с от d.

Дальше идет определение а: b ^с: d в случае несоизмеримости а и Ь, с и d с помощью вспомогательного соизмеримого отношения е : f

а : b > с : d, если при а : b > е : f имеем с : d < е : f.

Наконец, пропорциональность определяется тагам образом: a:bHe>c:dHHe§ б. Критику Борелли интересно сравнить с критикой Такэ25, который становится на другую точку зрения. Борелли, выступая против определения, основанного на операциях над бесконечным классом, собственно говоря, старается исправить Евклида в духе самого Евклида, признающего только то, что может быть в действительности получено построением. Такэ же старается исправить Евклида так, чтобы он согласовался с логическими идеями того времени, так ярко позже очерченными в пор-роялевской логи-ке2".

По мнению Такэ, учение Евклида встречает следующие затруднения.

Его определение равенства отношений (т.е. 5-е определение) и зависящее от него определение пропорции (6-е), дает не сущность пропорции, а толы® один из его признаков.

То, что доказывает дальше Евклид относительно пропорций, опираясь на свое определение, ие может быть без доказательства (т.е. без доказательства, что указанное им свойство действительно присуще равенству отношений) распространено на абсолютное равенство отношений, т.е. то истинное равенство отношений, идея которого предваряет всякое математичеко е исследование.

По мнению Такэ, "одно сказать, что отношение площадей треугольников с равыми высотами ABC и DEF равно отношению оснований АС и DF и другое - сісазать, что для всяких m, п для которых

in ABC | nDCF, а также и in AC | nDF, и незаконно утверждать, что, если второе доказано, то доказано и первое, без особого оправдания евклидова определения пропорции". Определение же самого Такэ равенства отношений оказывается столь же мертвым, как определение отношения Евклида.

"Два отношения (ЙІСІИСК d) подобны или равны, когда предыдущее а равно (aeque) или также (т.е. не больше и не меньше) содержит свое последующее Ь, как предыдущее с содержит последующее <г/, или короче, сколько b содержится в а, столько d в с". Входящее сюда понятие "содер- жанния" Такэ разъясняет для случая рациональнных отношений, а для иррациональных он не дает разъяснения, считая это само собой понятным: "Если пропорция иррациональная, то эта вещь не может и не должна разъясняться".

Так как из своего мертвого определения Такэ ничего не может извлечь, то к этому определению приходится приклеить аксиому, которую Деталь27 возвел в определение, заменяющее евклидово.

"Отношения (а к b и с к d) р авны, если последующие (т.е. b и d) и их подобные части (paries aliquotae), таковы бы они ни были, равное число раз содерзкатся в предыдущих (т.е. а и с)".

В алгебраической символике это истолковывается следующим образом:

а : b = с : d,

если, обозначая через

(b1,d1),(b2,d2)....(bj,dj)....

такие величины, что

b^nijbj d = mjdj

где m. целые числа, и в то зке время

a = nJbJ+oj C = pjdj+Cj (*)

где

ajn p. целые числа, то

Что касается до системы положений теории пропорций, то средством ее упрощения у Таю является обычный в XVIII веке способ обращения доказывавшихся раньше полозкеиий в очевидные истины.

В этом отношении существует большое сходство между рационалистами XVII века и современными логистиками29, разница лишь в том, что ту роль, которую раньше играли аксиомы, играют теперь определения, к которым не предъявляется других требований, кроме тех, чтобы из них могли бы извлечь наперед заданные теоремы.

К 4-му определению Евклида Такэ присоединяет в качестве опять аксиомы положение о равенстве величин, имеющих к одной и той же величине (или к равным величинам) одно и то же отношение, и обратное положение, а также аналогичное положение, относящееся к неравенству: отношения, равные одному и тому же отношению, равны между собой.

Взгляды Такэ на 12-е и 15-е положения не вполне ясны. Он не называет их аксиомами, но поступает с ними так, как если бы это были теоремы, доказательства которых так просты, что их и не стоит приводить.

О 15-м положении:

"Две величины имеют между собой такое же отношение, какое имеют их равнократные", он говорит: "Это положение можно было бы принять и за аксиому".

Вне сомнения, такое обращение целого ряда раньше доказывавшихся положений в очевидные истины обусловливается не одним стремлением к сокращению теории пропорции для более легкого усвоения ее начи-нающими изучать Евклида; следует при объяснении этого факта учесть и то, что эти положения с постепенной арифметизацией ума стали приобретать хотя бы и ие в сильной степени, ту очевидность, которая раньше им не была присуща.

Область понятия числа далеко расширилась за пределы евклидовых, т.е. целых чисел. Общность формальных законов, присущих отношениям и числам этой эпохи, прекрасно сознавалась математиками, она, можно сказать, каждую минуту вставала перед их глазами, они, так сказать, против воли приучались мыслить отношение, как число, и вследствие создававшегося через это настроения ума возникали иллюзии очевидности. § 7. Сам Евклид не мог бы признать обеих этих теорий. У Евклида геометрический объект получает право на существование только при условии доказанности его построения. Деление отрезка на m частей устанавливается

m

только в 6 книге. Для — Ь Борелли и (bp d) Такэ не дастся построений и

поэтому, с точки зрения Евклида, (кстати говоря, чуждой XVII в.) все эти теории являются незаконченными, и более того, они и не могут быть за-кончены.

Можно отметить различие в аксиоматическом отношении между теорией Такэ и евклидовой. Теория пропорций Евклида зависит от архимедова постулата, ибо на нем зиждется доказательство 8-го и 9-го положений.

Но независимы от него доказательства теорем 10-17 и независимо от него определение 5-е, которое сохраняет смысл и в том случае, если постулат Архимеда не выполнен. А именно, можно мыслить, что не для всяких п существует такое in, что ma > nb, но что существуют значения п без соответствующих in, и относить условия

та nb тс Ф nd

только к тем (т, п), для которых возможно первое неравенство.

Иное дело теория Такэ-Дешаля. Само определение уже предполагает возможность таких а. и е., что

і і'

aJчто сводится к постулату Архимеда. § 8. Арно30 является еще в большей степени арифметизированным, чем Такэ.

Таблица аксиом у него еще дальше расширяется.

Следующие 10 истин по его мнению очевидны.

(а + b + с): d = (а : d) + (b : d) + {с : d).

а : d = (а - b): d + (b : d).

a: (b : in) > a : b, где m целое число,

(a: с): (b : с) = a: b.

(с ; a) : (c : b )= b : a.

a:b = c:dl

, >-»a:b = e:i.

e:f = c:dj

a : b = с : b —> a = c.

Два из следующих условий влекут уже третье

a=ca:b=c:d b=d

a:b = c:d]

-Ka:e):(b:f) = (c:g):(d:h).

e:f = g;hj

a: b = с: d -> с : d = a: b.

Хотя некоторые он вследствие недостаточно сильной очевидности доказывает или, вернее, разъясняет.

Достаточно бросить взгляд на эту таблицу, чтобы усмотреть, что для Арно отношения уже величины, которые, как и числа, отрезки, площади, объемы и т.д. могут межоу собой складываться и вычитаться. Но только это величины относительные, в то время, как последние величины аб- ые31.

Для каждого типа величин можно выделить оба эти рода.

Числами абсолютными у Арно называются только целые числа,

7

относительные же - это Дроби — ,—¦¦•

8

Таким образом, дробь начинает рассматриваться, как отношение.

"Так как отношение есть величина, хотя бы и относительная, говорит Арно, то все, что относится к величине, вообще относится и к отношениям.

Две величины (с : Ь) и (с : d), замечает Арно, хотя и относительные, мы можем подвергнуть, как а и Ь, сравнению, дающему или равенство или неравенство.

В случае равенства имеем пропорцию а : b = с: d. Случай неравенства дает то, что мы могли бы назвать относительной величиной уже второго порядка

(а : b):(c : d)

и сравнение пары таких новых относительных величин дает опять пропорцию

(а : Ь): (с : d) = (е : ?): (g : h) или то, что можно было бы назвать относительными величинами высших порядков и т.д.

Приведенная выше аксиома Таю, обращенная Дешалем в определение, становится у Арно теоремой.

Интересно доказательство этой теоремы для случая несоизмеримости; в этом доказательстве ярко выступает лежандровское настроение. Следует заметить, что в формулировке теоремы у Арно имеется несущественное изменение в сравнении с Такэ; предыдущее поставлено на место последующего и обратно.

"Если всякие подобные аликвотные32 части последующих b и d равно (т.е. равное число раз) содержатся в предыдущих, то а : b и с : d равны

а: b = с : d.

Доказательство:

Положим, что а : b не =с : d.

Тогда а : b > с ; d, или а : b < с : d.

Конечно, можно ограничиться первым случаем, ибо второй будет рассматриваться аналогично. Тогда, замечает Арно (пользуясь неявно аксиомой Клавия, о которой мы ниже еще будем говорить), к b молено прибавить такое с,, что

a:(b+?) = c:d.

Но этого быть не может, ибо можно взять от а такую аликвотную часть а, что ot будет меньше и тогда с, будет содержаться в b ие столько раз, сколько у (подобная аликвотная часть d) содержится в с, а на единицу больше, что противно условию33.

§ 9. Теорема о том, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних, входящая в современную арифметичесісую и алгебраическую теорию пропорций, у Евклида оказывается в 6-й книге, причем очень далеко от начала (16—е предл.) и в 7-й книге (19-е предл.).

Доказывается она только для отрезков и целых чисел, причем для случая отрезков формулируется таким образом:

"Если четыре прямые линии пропорциональны, то прямоугольник, построенный на крайних прямых, равен прямоугольнику, построенному на средних и обратно". Буквенная алгебра дает возможность выразить символически эту теорему.

Если а : b = с : d, то ad = be (*).

Под буквой вне сомнения разумелось раньше (даже в XVIII в.) не то, что мы теперь разумеем, не число, а величина (magnitude in genere)34, объемлющая как непрерывные, так и дискретные величины. Это можно усмотреть уже из самих старых определений алгебры, например:

Рейхер(1703)

Чистая математика делится на общую (Universalis), называемую алгеброй, исследующую абстрактное количество (quantitas abstracta), и частную, включающую геометрию, исследующую непрерывную величину и арифметику, исследующую множество или число.

Через 60 лет,

Лакайль (1762)'5.

Алгебра, это, так сказать, общая арифметика или наука вообще о величинах, как арифметика - наука о числах.

При этом Лакайль отмечает, что quantitas vel magnitude35 может быть дискретно (partibus separates) - такие величины исследует арифметика - и непрерывно (continuae), которыми занимается геометрия.

Еще в XVII веке алгебра помещается после арифметики и геометрии. Из "ars inveniendi"37, находящего свое обоснование только в геометрии, алгебра не скоро обратилась в систему общего учения о величинах.

Она содержала правила формальных операций и вытекающие из этих правил следствия, но смысл их совершенно различно истолковывался для геометрических величин, чем для чисел.

Для геометрических величин в равенстве (*) ad и be истолковывались, как площади треугольников, построенных на ad и be. Если а, Ь, с, d ..., это прямолинейные отрезки или, как выражались, линейные величины, то ab, cd... - плоские, abc...- телесные.

Что касается до abed, то это величина, воображаемая, мнимая, то

же, что для насТ^Т • Так что одна и та же формальная алгебраическая операция могла привести или к реальному, или к мнимому результату.

Смотря по тому, производится ли она над числами или геометрическими величинами, например, отрезками.

5

Если а = 2, 3, —... то av av аг а},., имеют конкретный смысл.

Но если а отрезок, то я, площадь квадрата, а3 объем куба, аа^-в сущности говоря, то же, что ^CJ . Это коссическая величина. "Существует, говорит Херигон,38 только 3 рода величин вещественных (reelles): линия, поверхность и тело, но мнимых (d'iraaginaires) - бесконечность: квадрат- квадрат, квадрат-куб, куб-куб и т.д.".

§ 10, Открытие аналитической геометрии вызвало отнюдь не окончательную арифметизацию геометрии, а ее алгебраизацию.

Координата у Декарта39 ни в каком случае не число, а прямолинейный отрезок, Роль чисел у него играют прямолинейные отрезки, между которыми и всякими геометрическими величинами устанавливается взаимно-однозначное соответствие, и все операции над геометрическими ве-личинами сводятся к операциям над отрезками; ab, abc, х, х2, х3.... понимаются, как величины одного рода - отрезки; abed... х4, х5 получают такой же реальный смысл. Для этого оказывается достаточно истолковать ab, не как площадь, а как отрезок, получаемый построением:

на ОР откладывается ОВ=Ь

па OQ откладывается ОА=а

ОС=1

С соединяется с В

АХ||СВ->ОХ = х

так, что х : а = b : 1 0

такой отрезок х и считается произведением а на Ь.

В основе этого определения лежит аксиома, которой пользуется Евклид так же неявно, как постулатом Архимеда и которую вскрыл Клавий: существует четвертая пропорциональная, т.е. существует такое х, что при данных а, Ь, с,

х : а = b : с.

Эта аксиома применяется в доказательстве 18-го предл. 5-й книги:

а: b = с : d -> (а + b) : b = (с + а): d.

Доказательство ведется от противного с помощью предыдущей обратной теоремы

(а + b): b = (с + d): d а : b = с : d.

Предполагается, что

(а + b) ; b не = (с + d): d, а = (с + d): е, где е ^d.

В первом случае, на основании теоремы 17,

а : b = (с + d - е): е, откуда (с + d): d = (с + d-e): е, а так как с + d> c + d-e, то должны иметь и d > е, что противно условию.

Таким же образом устраняется и второй случай.

Подлинность этого доказательства оспаривается Робертом Симп-

соном.

Вайлати10 доказывает это утверждение ссылкой на то, что в латин-ском издании "Начал" Компаиуса", составленном по арабскому переводу, содержится другое доказательство, не зависящее от постулата Кпавия.

Мы не будем приводить доказательство Компануса, дополненного Вайлати, отсылая читателя к статье последнего. В истории эволюции идеи числа это доказательство не играло роли.

Между тем, как метод доказательства 18 предл. 5-й книги составляет, именно, тот метод, который был применен Арно к доказательству ак-сиомы Такэ, а позднейшими математиками - к доказательству пропорциональности углов и дуг (в случае несоизмеримости) и других аналогичных положений (теор. 33 6-й книги).

Аксиома Клавия должна была оказать большой толчок в направлении арифметизации числа.

Как мы выше заметили, едва ли сам Евклид включал числа и геометрические величины в одіш класс. Но такое включение совершенно определенным образом свершилось при создании буквенного счисления.

Для Евклида пропорция (равенство отношений) а: b = с : d определяется или для геометрических величин разного рода (5-я книга), или для чисел (7-я книга). Для позднейших лее математиков (а, Ь) и (с, d) - величины вообще, magnitudines in genere, и может быть случай, что (а, Ь) геометрические величины, а (с, d) числа, по при этом, если (а, Ь) одного рода, то и (с, d) одного рода.

Постулат Клавия тогда постулирует возмолсность к геометрическим величинам (Ь, с) и числу а найти такое число х, что

х : а = b : с.

Возьмем а = 1 и мы будем приведены к необходимости признать всякое отношение, даже несоизмеримых величин, за отношение числа к единице.

Если за с принять единицу меры, то результат измерения b : 1 представится отношением числа к 1. Остается отоледествить отношение с числом, чтобы получить взаимно-однозначное соответствие между геометрическими величинами и характеризующими их числами, § 11. Не меньшую роль в арифметизации теории пропорций сыграло 5-е определение 6-й книги "Начал".

"Отношение называется сложенным (составленным) из отношений, когда количества сих отношений в них кратствоваиные делают некое количество" (не вернее ли - отношение?)12,

Оставлял в стороне вопрос о точности перевода Петрушевского, я не могу не признать, что, если этот перевод точен, то сам оригинал представляет какое-то искажение евклидового определения, об истинном со-держании которого приходится строить предположение, пользуясь, например, вольным переводом Лоренца:

"Из трех или многих величин а, Ь, с, cL., из которых каждое предыдущее находится в отношении к последующему

(а : Ь), (Ь ; с), (с : d).„ отношение первого к последнему называется составленным из всех этих отношений".

Перевод Ващенко-Захарченко:43

"Отношение называется составленным из отношений, когда эти отношения, будучи перемножены, дают отношение". Причем это поясняется рядом равенств в современной символической форме:

а _ k b _ m с _ s b 1 ' с n ' d г a b с _ к in s bed 1 n r

Видимо этого рода понимание было у математиков второй половины XVII века с уже отчасти арнфметизироваииым математическим мышлением.

Евклид нигде ие оперирует с отношениями как с числами, в духе Арно. С его точки зрения не может быть умножения отношений.

Поэтому, если такой перевод правилен, то, как справедливо замечает Вайлати, - это определение ие может быть признано подлинным.

Но в этом случае и предложение 23-е 6-й книги44 (о котором, видимо, Вайлати забывает) должно быть признано не подлинным.

Подробно анализируя доказательство этой теоремы, мы легко видим, что формулировка Лоренца не охватывает содержания того определения, которое лежит в основе этого доказательства.

Отношение а : d называется составленным не только из (а : Ь). (Ь : с), (с : d),

но и из

(о : b).(b : с), (с : d)

если

a:b = a:b,b:c = b:c,c:d=c:d.

Евклидово отношение было ближе к общему логическому понятию отношения, лежащему в основе современной логики отношений, чем к математическому отношению чисел, но, вероятно, у самого Евклида не было вполне ясного понимания отношения15,

В высшей степени интересно, как иа промежуточной декартовой точке зрения, не объявляя еще отношение числом, математики старались, не скажу истолковать, а скорее исправить Евклида в этом месте.

За декартовым истолкованием умножения отрезков а на b и выте-

а

кающего отсюда истолкования — или а : Ь, истолковывалось также умно-

а с ас

жение отношений (или частных) —, так как — и — представлялись

отрезками.

а

Джордано Витале4' устанавливает для а : b или — ряд формаль-

b

иых законов, которым подчинены числа.

а : b = ас : be

а : b = с : d ad = be

a(bc) = (ab)c

a L.

4 —b = a. b

§ 12. Открытие Пифагором несоизмеримых величин положило конец наивному представлению о взаимно-однозначном соответствии между геомет-рическими величинами и рациональными числами (или, вернее, отношениями целых чисел).

Брюисвиг47, по всей вероятности, правильно предполагает целый ряд попыток выражения диагонали квадрата, со стороной =1, числом, раньше чем была установлена неразрешимость этой задачи.

Само пифагорейское мировоззрение должно было располагать к вере в разрешимость этой проблемы и открытие неразрешимости должно было нанести ему неисцелимую рану.

Интересно отметить, что установке логически не обоснованной, но психологически объяснимой, взаимно-однозначного соответствия между геометрическими величинами и числами, путем расширения идеи числа, предшествует краткий период особого понимания,

ab, abc...

в котором постулируют взаимно-однозначное соответствие между геометрическими величинами и числами, при этом числами не только рациональными, но и целыми.

Но эти целые числа - это актуально бесконечные числа, которыми определяется сколько раз неделимое (актуально-бесконечно малое XVII и начала XVIII в.) содержится в конечной геометрической величине.

"Линия, говорит Ривар48 в своих "Элементах Математики", умножается на другую линию, если первая берется столько раз, сколько точек во второй: например, чтобы умножить АС на CD, следует линию АС взять столько раз, сколько точек в линии CD, т.е. чтобы иметь произведение АС на CD, следует представить себе, что проведены линии равные и параллельные АС: они заполняют пространство ACDB, вот почему произведение одной линии на другую образует прямоугольник". § 13. Арно, Луи Бертран49, Лежандр50 - вот три ступени арифметизации геометрии.

То, что у Бертрана высказывается в робкой форме, у Лежандра высказано уже вполне категорически.

Лежандр и авторы учебников51 лежандровского типа, всякое действие над отрезками заменяют соответствующим действием над числами, ab понимается только как произведение двух чисел

(АВ+ВС)2 = АВ2 + 2АВ.ВС + ВС2

ибо

(а + b)2 = а2 + 2ab + Ь2 где а число определяющее АВ, b - ВС.

Вполне понятно, что именно Лежандр, лучшие труды которого относятся к теории чисел, дожен был дойти до крайнего предела арифметизации геометрии.

а : b = с : с!

поэтому ad = be.

Эта истина, говорит Лежандр, в числах верна, она верна и при всяких других величинах, лишь бы только они изображались через числа, что всегда можно положить.

Например, если А, В, С, D - 4 линии, то можно вообразить, что одна из них служит мерой; тогда как А, В, С соизмеримы и несоизмеримы, и во всех случаях они выражаются числами, в первом случае соизмеримыми (рациональными), во втором несоизмеримыми (иррациональными).

Что касается чисто арифметического обоснования теории ирраци-ональных чисел, математики в этом отношении и после Лежандра чув-ствовали себя несколько неловко в критических местах элементарного курса геометрии - это молото видеть в примечаниях учебника Лакруа52, в которых он как бы старается оправдаться перед читателем в своих арифметических тенденциях:

"Испытывается, говорит Лакруа, некоторое затруднение в перенесении на части пространства понятия отношения в таком виде, как оно понимается для чисел, в особенности, когда дело идет о несоизмеримых между собой линиях, ио темнота рассеется, если обратить внимание на то, что сравнивать две линии возмолено только относя их к общей мере, и тогда их отношение есть, действительно, число или дробь, члены которой, выралеенные числами, представляют то, сколько раз мера заключается в

каждой линии. Хотя эту дробь невозможно точно указать в том случае, когда соотношение несоизмеримо, но она тем не менее существует", § 14. 5-я книга кончает свое существование. Арифметика побеждает геометрию и ставит последнюю в зависимость от себя.

Но с началом логистических тенденций еще в 70 и 80 гг. прошлого столетия в Италии раздается призыв к возврату к Евклиду, к освобождению геометрии от арифметики.

Но полного возврата к прошлому не бывает. Евклид итальянских геометров - это псевдо-Евклид.

Для Евклида в геометрии существует только то, что может быть построено, для Лежандра то, что может быть вычислено, для математиков-логистов то, что не содержит противоречий.

Уже в силу этого, иррациональные числа не существовали, да и не могли существовать для Евклида. Для Лежандра они, только они, были достаточны, ибо все вычисления над геометрігчесішми величинами молено было свести к операциям иад числами.

Логист не только имеет основания отказаться от иррациональных чисел, но естественно логизирует понятие иррационального числа и создает идею таких объектов, которые, не слулса уже орудием вычисления, вкладываются в логические схемы арифметики.

Логист остается при взаимно-однозначном соответствии геометрических величин и чисел, и не подчеркиваемый им до последней главы факт существования такого взаимно-однозначного соответствия и делает возможным оперирование с отрезками, площадями и т.д. так, как оперируют в арифметике и алгебре с числами. Все, что приносится мм как новое, в "Началах" Евклида - это в доказательствах - алгебраическое, а именно, прилагается алгебраическая техника доказательств в приложении к величинам, которые не признаны алгебраическими (причем алгебра=алгебра чисел), в постулатах - экономическое сокращение числа их, стремление осуществить логический минимум, хотя бы в ущерб очевидности, в определениях - логистическое — переработка определений с сокращением интуитивного материала, в них входящего.

Первое совершенно чуждо Евклиду и потому дает не возврат от Лежандра к Евклиду, а дальнейшую за Лежаидром стадию эволюции.

Второе бесспорно имелось в виду и Евклидом, но не интересовало Лежандра. Для Евклида, чем меньше аксиом, тем меньше сомнений со стороны софистов, поэтому Евклид доказывает иногда совершенно очевидные истины.

Третье же в равной мере совершенно чуждо и Евклиду, и Лелсаидру.

Но для Евклида на первом плане очевидность, иа втором минимум, для логиста нее наоборот, он всегда готов принести в лсертву очевидность минимуму. Теории пропорций Саньо д'Овидио53 и Веронезе54 отнщць не следует рассматривать как продолжения того удерживавшего арифметизацию геометрии течения возврата к Евклиду, которое проходит через д'Аламбе- ра и Гурьева55, а, как совершенно новое течение, представляющее продолжение основного потока, идущего через Арно и Лежандра.