§ 1. Античная мысль и бесконечность.

Античная мысль ие знает в нашем смысле математической бесконечности. Бесконечность как актуальная', т.е. бесконечность множеств и трансфинитных чисел, так и потенциальная бесконечность предела вышли из средневекового схоластического мышления.

Для античной мысли, носящей определенно статический3 характер, совершенством может обладать только вполне ограниченная форма; снятие границ ведет к неопределенности, к несовершенству. Это, конечно, точка зрения как раз противопололеная спииозовской и канторовской, для которых конечное получается из бесконечного путем наложения границ на более совершенное. Более того, бесконечность, которая всегда приравнивается безграничному, теряет свое право на существование в силу вскрываемых противоречий.

В признании Аристотелем потенциальной бесконечности молено было видеть зародыш идеи предела.

Представляет ли эта бесконечность то, что вещь стремится достигнуть, но ие достигает?

Но такая формулировка совсем не в античном духе, античная мысль не знает движущейся переменной величины. Да, кроме того, идея предела характеризуется не только одним стремлением к ней, но и сколь угодно близким приближением, поэтому бесконечность и не может бьггь признана в собственном смысле пределом.

У Аристотеля актуально бесконечное — это снятие всех границ, потенциальное - это только возможность снятия всякой определенной границы, при этом вовсе не мыслится вся совокупность этих возможностей. Античный математик никогда ие берет бесконечный ряд. Весь ряд у него мыслится конечным.

1 1 1

величины "[Q'YQQ5 ^QQQ • • • ¦ Он 1) вовсе не мыслит переменного X, проходящего через значения А|; А2, А3 и стремящегося к А; 2) вовсе не мыслит всей бесконечной совокупности А,, А„ А3 а только конечное число операций, достигающих цели. На первый взгляд кажется, что внесение понятия предела в д'аламберовском'1 смысле ничего не дает, что все доказательства, выдвигаемые методом пределов, при более строгой обработке в конечном итоге сводятся к античной методе.

Если признать, что идея предела в строгой обработке должна выпасть, являясь логически не действующей, то и тогда за ней следует признать большое значение уже в эвристическом смысле, признать, что эта общая идея явилась основной при построении, может быть, и недостаточно обоснованных методов, сменивших античные, носившие более случайный характер.

Но ие трудно видеть и то, что такое возвращение к античной методе при требовании логической стройности не достигает цели.

Понятие предела содержит больше, чем то, что определяется условием, что А-Х может быть сделано менее всякой заданной величины; это большее выражается обычным в настоящее время добавлением; "и в даль-нейшем остается меньше этой величины"5,6,

Это прибавление дает возможность выделить случай, когда рад А,, Аг, А3 имеет только одну точку сгущения среди случаев, когда этих точек вообще много, и даже бесконечно много. Но при этом необходимо то, что совершенно чуждо и Евклиду и Архимеду: необходима мысль о всем бесконечном множестве А,, А2, AJ Собственно говоря, замена актуальной бесконечности метода неделимых потенциальной бесконечностью теории пределов вовсе не уничтожает первой, она ее, так сказать, загоняет в подполье, она существует сперва скрытно, а потом выступает явно. А именно, во всяком пределе мыслится весь процесс приближения к пределу в его целом. Процесс этот во времени всегда незакончен, а в мысли он является, как нечто существующее во всей своей полноте, и определяет так называемый фундаментальный ряд Кантора7.

A:X=aj :а2

определяет некоторое соотношение между множествами А. и а., и поэтому обоснование его ведет к рассмотрению непрерывных множеств.

Древние мыслили аісіуальную бесконечность пространства и числа, но отрицали их реальное существование. Но что касается до актуаль-ной бесконечности какого-либо процесса, то здесь дело шло еще дальше: они не могли и мыслить об этом. Этим разрешается следующая интересная загадка: Аристотель, отрицая бесконечность вселенной в пространстве, признает вечность ее во времени9, Чтобы понять это, следует хорошо продумать Аристотеля. Дело в том, что он очень далек от эмансипации математических и логических понятий, от элементов времени и пространства.

Аристотель, как и Евклид, мыслил только числа и величины геометрические; прошло не мало времени до появления понятия алгебраической величины, объемлющей как класс и дискретные, и непрерывные величины.

Формулировка основных логических аксиом содержит время: А не может быть в одно и то же время А и не А10.

Все данное является данным во времени.

Всякое доказательство относится к существованию чего-либо в определенный момент.

Бытие безотносительно ко времени не существует у Аристотеля. Поэтому и вопрос о существовании или несуществовании бесконечного времени им не может быть поставлен. Утверждение, что мир вечен, не следует понимать так: время бесконечно, а только так, что ко всякому моменту времени молено прибавить еще следующий момент. И Аристотель никогда ие прибавляет: и так до бесконечности, ибо никакой бесконечности он здесь ие мыслит. Бесконечное пространство мыслится, хотя без права на существование.

Но бесконечное время и мыслиться не может, ибо нет для него момента времени.

Эта немощность вневременного мышления явно выявляется в зе- иоиовских парадоксах11. Берется бесконечный процесс, с помощью которого строится бесконечное множество, [что призается немыслимым].

Мы объявляем, что все элементы действительно строятся, И ЭТОТ процесс мыслим как нечто целое и вне времени, в которое мы этот процесс вполне можем осуществить. Иное дело - античный мыслитель. Он утверждает, что не все элементы осуществляются этим процессом, причем при этом утверждении он не может отрешиться от субъективного бессилия, от невозможности конкретно достигнуть отдаленных элементов12.

10-е положение "Начал" Евклида" : "Даны две величины А, а, и от большей А берется более половины, от остатка опять более половины и т.д. Всегда можно прийти к остатку, который будет меньше данной величины а", на котором основывается апагогическое доказательство метода исчерпывания, вовсе не утверждает, что этим алгорифмом достигаются все случаи: < 0,1, < 0,01 < 0,001 ...