§ 2. Евклидова форма метода исчерпывания14.
Общая схема метода исчерпывания в его первой стадии развития, той, которая имеет место в "Началах" Евклида, следующая: Следует доказать, что А : В = а : b (1)
Доказательство разделяется на две части.
Если пропорция (1) не выполняется, то возможны два случая:А:Х = а : Ь, где X < В
А : X = а : Ь, где X > В (2)
Для исключения первого случая пользуются рядом величин:
р О) р (2) р (3) L я >х а >1 я
иного рода, чем А, но таких, что все члены будут: 1) меньше А и 2) разность А -Рп(п) при надлежащем выборе п может быть сделана меньше
любой величніш (можно сказать, в какой угодно мере начерпана15). Такой же ряд берется и для В:
р (О р (2) р (3)
и доказывается, что
Pa(ll):Pb(u)=A:X (3)
Но тогда и можно взять настолько большим, что будет иметь Рь(п) X, ибо X и В будет какая-либо разность, меньше которой молено сделать В - Рь(,°. Но, с другой стороны, по предпололсению:
Р/П)<А
Сравнение пропорций (2) и (3) дает: Pa0l):Pb(n)=A:X Это же при Рл(и) < A, Pb(ll) > X невозможно, как это следует из теории пропорций Евклида (5-ая книга "Начал").
Совершенно таким лее образом с помощью рядов:
Q^Q^-.Q,00 Qa00>A Qi/l)>Qbt2) ••••Qb(,° QbC,0>B
таких, что разности Q ^ - A, Qb(n) - В могут быть исчерпаны, исіелючается и второй случай.
Метод исчерпывания в "Началах" Евклида применяется для доказательства следующих полоясений:
Площади кругов относятся меледу собой как квадраты диаметров (ХП книга,
2-е пололееиие).
Здесь А и В - площади кругов, а и b - квадраты их радиусов, Р®> - площадь правильного вписанного многоугольника, Qaw- описанного.
Паппус16 отсюда выводит теорему, что окружности кругов относятся как их диаметры, замечая, что это может быть выведено из того, что периметры подобных многоугольников с равным числом сторон относятся, как диаметры вписанных или описанных кругов.
Трехсторонние пирамиды равных высот относятся, как основания (Xiy.
А и В - объемы пирамид, а и b - площади оснований, Ря - объем суммы входящих, Qa - выходящих призмочек.
1
Конус равен — цилиндра с одной с ним высотой и тем же основанием (XII |0).
А - объем конуса, В - цилиндра, Рп - вписанной, Qa - описанной пирамиды, Рь - вписанной, Q(i - описанной около цилиндра призмы.
Конусы и цилиндры с одной высотой относятся как основания
(ХПИ).
Подобные конусы и цилиндры находятся в тронном отношении как диаметров их оснований (ХП|2).
Сферы находятся в тройном отношении их диаметров (XII,,).
Тем же методом Архимед доказывает, что площадь эллипса относится к площади круга наибольшей оси как малая ось к большой - путем сравнения вписанных многоугольников с вершинами иа перпендикулярах к большой оси.
Эта форма метода исчерпывания применяется часто в учебниках лежандровского типа, например, у Давидова при доказательствах*7:
пропорциональности центральных углов и дуг,
пропорциональности площадей прямоугольников с равными высотами,
пропорциональности отрезков, отсекаемых на прямых параллельными,
пропорциональности двугранных и линейных углов,
пропорциональности объемов параллелепипедов с равновеликими основаниями и высотами.
Форма Евклидова метода исчерпывания с привлечением идеи предела и при соответствующей переработке превращается в прямой метод по схеме: U: S = а: b
U і um й = urn і < „ [lim V = A [ lim T = В flimU:limS = a:b IJ:S = a:b->^ ->A:.B = a:b (hmU:limT=a:b и вызывает следующие идеи: 1) принцип Гурьева18: если U < А < V и lim U = lim V = С, то А = С, или в более общей форме: u