§ 4. Втором архимедова форма метода исчерпывания2'.

В этой форме неравенства (5) заменяются более простыми

Pa(,,0Ра(ш) =а/ш) +а2(т) +

Qa("° =а,(П1) +а2("° + ар-і +ар(т)

где а<т>по мере возрастания m убывает.

Разность Qa(m)-Ра(п,), как равная а (1П) может быть сделана как угодно малой.

Так поступает Архимед при определении объема коноида (тела вращения параболы): otj представляет входящие и выходящие цилиндры,

Ра (ш), Q а (ш) представляют цилиндры, равновеликие сумме этих элементарных цилиндров, В - объем цилиндра, основание которого - это основание коноида, а высота - половина высоты коноидов.

Этот метод применяется при выводе объема гиперболического конуса (гиперболоида вращения) и площади архимедовой спирали.

Этот метод и теперь применяется в школьной литературе при так называемой "чертовой лестнице", т.е.

Pa(,u)Pa*"0 = а/"1' +а2(ш> + а?ї

Qa("° = аі{,п) +а2{"° + ар-! +ар(т)

Доказывается, что а/,п) = а/"0, откуда Ра{"° = Р,(,п>, Qa(ш) = Q„Архимеду приходится делать то, что избегается в этой последней форме, суммировать

S-, = a0(,B)+oc1(m) +

находить такую величину определенного рода, например, в первом примере цилиндра, для которой а,, - 1 служила приближением по недостатку, а сумма ст,, - по избытку. Ему приходится суммировать

1 + 2 + 3 + + п

І2 +21 +3 2 + + п2.

Ему не удается этим методом найти площадь сегмента параболы, так кале приходится встречаться с суммой

д/Г +V?+л/з+ Vn,

которую он, конечно, не может просуммировать.

Этот метод в обработке идеей предела приводит к основной идее интегрального исчисления22 в том виде, как она ныне (а не во время существования метода неделимых) представляется, а именно к представлению величины А как предела суммы бесконечно великого числа бесконечно малых элелентов. Тогда указанная выше форма сводится к следующей схе-ме:

А= lim j (анализ)

lim = liin^pj (синтез)

ZPJ=B

A = В

Указанное выше видоизменение архимедовского метода приводит

к схеме:

А = lim В = lim ]TPj aj = pj^A = B.