§ 4. Втором архимедова форма метода исчерпывания2'.
В этой форме неравенства (5) заменяются более простыми
Pa(,,0 Qa("° =а,(П1) +а2("° + ар-і +ар(т) где а<т>по мере возрастания m убывает. Разность Qa(m)-Ра(п,), как равная а (1П) может быть сделана как угодно малой. Так поступает Архимед при определении объема коноида (тела вращения параболы): otj представляет входящие и выходящие цилиндры, Ра (ш), Q а (ш) представляют цилиндры, равновеликие сумме этих элементарных цилиндров, В - объем цилиндра, основание которого - это основание коноида, а высота - половина высоты коноидов. Этот метод применяется при выводе объема гиперболического конуса (гиперболоида вращения) и площади архимедовой спирали. Этот метод и теперь применяется в школьной литературе при так называемой "чертовой лестнице", т.е. Pa(,u) Qa("° = аі{,п) +а2{"° + ар-! +ар(т) Доказывается, что а/,п) = а/"0, откуда Ра{"° = Р,(,п>, Qa(ш) = Q„ S-, = a0(,B)+oc1(m) + находить такую величину определенного рода, например, в первом примере цилиндра, для которой а,, - 1 служила приближением по недостатку, а сумма ст,, - по избытку. Ему приходится суммировать 1 + 2 + 3 + + п І2 +21 +3 2 + + п2. Ему не удается этим методом найти площадь сегмента параболы, так кале приходится встречаться с суммой д/Г +V?+л/з+ Vn, которую он, конечно, не может просуммировать. Этот метод в обработке идеей предела приводит к основной идее интегрального исчисления22 в том виде, как она ныне (а не во время существования метода неделимых) представляется, а именно к представлению величины А как предела суммы бесконечно великого числа бесконечно малых элелентов. Тогда указанная выше форма сводится к следующей схе-ме: А= lim j (анализ) lim = liin^pj (синтез) ZPJ=B A = В Указанное выше видоизменение архимедовского метода приводит к схеме: А = lim В = lim ]TPj aj = pj^A = B.