7.2 Архимедовы и неархимедовы нормы в мате-матической физике

В физических экспериментах мы никогда непосредственно не имеем дело с вещественными числами, т.е. с бесконечными десятичными дробями. Результаты любых физических действий, производимых при измерении, всегда выражаются лишь рациональными числами.

С аналитической точки зрения расширение поля рациональных чисел до поля вещественных чисел связано с понятием нормы, соответствующим геометрическому понятию расстояния. Наиболее общие свойства нормы, т.е. функции |гг|, следующие.

Определение 1 Неотрицательная функция \ • определенная на некотором

142 кольце Q, называется нормой, если

|х| > 0, причем )а;| = О «-> х = О

\ху\ = \х\\у\

\х + у\<\х\ + \у\ для любых х,у Є Q.

Наиболее известной функцией, используемой в качестве нормы является абсо-лютное значение | • | - поле вещественных чисел определено именно как замыкание поля рациональных чисел по этой норме: Q —> R. Этим, однако, не исчерпываются все возможности. Согласно теореме Островского [139], с точностью до эквивалентности, существует ровно две возможности расширения поля рациональных чисел, по обычной норме | • | и по р-адической норме | • |р:

(7.1)

р-Адическая норма | • |р определена следующим образом. Пусть р ф 1 - простое число. Любое вещественное число х Є Q, отличное от нуля, может быть однозначно представлено в виде

* = ~Р\ (7.2)

п

где т, и п - целые числа не делящиеся на р Ф 1; 7 - целое число. Представление (7.2) позволяет определить в поле Q норму m „

-Р1 п

\х\р =

=V, |0|/='0, (7.3)

р

отличную от стандартной нормы | • |. Алгебраическое замыкание поля Q относительно нормы ) • |р есть поле р-адических чисел Qp.