§ 3. Первая архимедова форма метода исчерпывания.

Метод исчерпывания подвергается дальнейшей эволюции у Архимеда19. Исчерпывается не разность между дайной величиной А и членами ряда, дающего его приближенные значения:

РДР.®, Рв<п) (РД

а разность между соответствующими членами ряда (Ра), дающего приближение по недостать, и ряда:

(ЗЛ<ЗЛ дающего приблюкение по избытку.

Для устранения предположения В > А пользуются двумя парами

рядов:

R1,wSb(2)>....>S„tn) *

рГ<Р™<....Р„(ш>

Qa(I)>....Q„(m)

для которых

P„(u1) Rj/'0 ^Bпри чем устанавливается возможность исчерпывания разностей Q,/"0 - Ра(ш), Sl/") -R),00 и отсюда выводится, что отношения

п ("О . р ("О о (П) . TJ (П) Чо ' и >

можно предполагать при надлежаще выбранных m, п меньше всякого отношения С : А, где OA. Далее обнаруживается, что всегда при п можно выбрать пі так, что

р т < R о» 0 («о > s (-о

* а — "Ь ' Чі — ,Jlj

Полагая В = А', где А' - величина того же рода, что А, имеем тогда при некотором п

.Sbw: Ра(га) <А':А. Но это невозможно, ибо

.Vn)>A'=B Pa(m)Таким же образом устраняется и случай

В < А.

По этой схеме ведется Архимедом доказательство ему принадлежащей (и потому в евклидовы "Начала" не входящей) теоремы;

Круг равновелик треугольник с основанием, равным длине окружности, и с высотой, равной радиусу. А - площадь круга, В - площадь треугольника, Р./"' - вписанный правильный многоугольник, Qa("' - описанный правильный многоугольник, R« - треугольник с основанием, равным периметру первого и с высотой, равной радиусу,

S» - треугольник с основанием, равным периметру второго, и с высотой, равной радиусу.

Другой пример - это 13-е положение книги о конусе и цилиндре20 о том, что боковая поверхность цилиндра равна площади круга, диаметр которого - среднепропорциоиальное между стороной (т.е. образующей) и диаметром цилиндра.

Здесь А - поверхность цилиндра, В - круга, Р <»п) .

Положение 15-е: поверхность конуса равна площади круга, имеющего радиусом среднепропорциональное между стороной конуса и радиусом его основания.

Поверхность шара равна учетверенной площади большого круга (положение 31-е),

За Pi(m', Q.i(m) принимаются поверхности, описываемые вращением вписанного и описанного в полукруг многоугольника.

Объем шара равен учетверенному объему конуса, основанием которого служит большой круг шара и высота которого равна его радиусу.

Поверхность сегмента шарового, меньше полусферы, равна площади круга, имеющего радиусом прямую, идущую от вершины сегмента к окружности основания (положение 40-е).

Объем сегмента равен объему конуса, основание которого равно поверхности сегмента, а высота - радиусу шара (положение 42-е).

Этот метод дает следующую форму ему соответствующей теории пределов:

U < А < V S <В <Т

и < S < Т < V; lim и = lim V -н> lim S = lim T = limU = lim V A = В и таким образом включающий принцип более общий, чем упомянутый выше принцип Гурьева.