2. Системы множеств в евклидовом пространстве

Определение 7. Пусть заданы n пар вещественных чисел а_i и b_i, где i = 1,..., n, так, что a_i < b_i "i. При этом мы допускаем, что некоторые из этих чисел могут быть несоб­ственными, т.е.

Ранее было показано (пример 1.5), что открытые параллелепипеды образуют базу топологии в R_n.

Определение 8. Множество D* всех точек х Î ¡_n, координаты которых удовлетво­ряют неравенству а_i £ x_i £ b_i, i = 1,..., n, называется замкнутым n-мерным параллеле­пипедом.

Если рассматривать R_n с топологией, порожденной метрикой Евклида, то открытый параллелепипед является открытым множеством, замкнутый – замкнутым множеством (проверьте).

Определение 9. Параллелепипед D – это любое множество, удовлетворяющее условию: D₀ Ì Δ Ì D*. Далее мы его будем обозначать так D{a₁, b₁;...; а_n, b_n}.

Определение 10. Если - ¥ < а_i < b_i < + ¥ при всех i, то будем говорить, что D -параллелепипед с конечными ребрами. Если же хоть одна из величин а_i и b_i является бесконечной, то будем говорить, что D имеет бесконечное ребро.

Определение 11. Будем говорить, что два параллелепипеда дизъюнктны, если у них нет общих вну­тренних точек.

Определение 12. Объемом n-мерного параллелепипеда D{a₁, b₁;...; а_n, b_n} называется: V_D =

Он равен + ¥, если у параллелепипеда есть бесконечное ребро.

Определение 13. Параллелепипед D{a₁, b₁;...; а_n, b_n} называется (n-мерной) ячейкой, если он состоит из всех точек х, координаты которых удовлетворяют неравенствам а_i £ x_i < b_i, где i = 1,..., n.

Пусть P₁ и P₂ – полукольца на множествах Х₁ и Х₂, соответственно. Построим систему множеств P = P₁´P₂, т.е. А´В ÎP тогда и только тогда, когда АÎP₁ и ВÎP₂.

Лемма 1. Система P является полукольцом в Х₁´Х₂.

Доказательство. 1) ? = ?´?ÎP.

2) Если А₁´В₁, А₂´В₂ÎP, то А₁´В₁ Ç А₂´В₂ = (А₁ÇА₂)´(В₁ÇВ₂)Î P (в силу свойств полуколец P₁ и P₂).

3) Пусть А₁´В₁, А₂´В₂ÎP и А₁´В₁ Ì А₂´В₂, последнее влечет вложения множеств А₁ Ì А₂ и В₁ Ì В₂. В силу свойств полуколец P₁ и P₂ найдутся множества С_n ÎP₁ и D_kÎ P₂, такие, что А₂ = А₁ + и В₂ = В₁ + . В силу свойств произведения дизъюнктных множеств получаем представление А₂´В₂ = А₁´В₁ + + + , что эквивалентно третьему условию в определении полукольца.

Рассмотрим ячейки на числовой прямой, т.е. систему P₁ промежутков вида [a; b).

Теорема 3. Система P₁ промежутков вида [a; b) образует полукольцо пространства R₁.

Доказательство. 1) Справедливо ? = [a; a).

2) Пусть [a₁; b₁), [a₂; b₂). Тогда нетрудно видеть, что пересечение этих промежутков либо пусто, либо [a₁; b₁) Ç [a₂; b₂) = [max{a₁, a₂}; min{b₁; b₂})(сделайте рисунок).

3) Пусть [a₁; b₁) Ì [a₂; b₂). Тогда нетрудно видеть, что выполняется равенство [a₂; b₂) = [a₂; a₁) + [a₁; b₁) +[b₁; b₂), что доказывает последнее свойство полукольца.

Следствие. Система всех ячеек пространства R_n образует полукольцо P.

Утверждение следствия легко вытекает из теоремы и леммы 1.