3. Функция множеств

Определение 14. Вещественнозначная функция, областью определения которой является некоторая система множеств Â, называется функцией множества.

Определение 15. Функция f называется счетно-аддитивной, если для любой не более чем счетной совокупности дизъюнктных множеств A_n Î Â, объединение которых А = A_n тоже принадлежит Â, имеет место равенство

Определение 16.

Так как функции могут принимать бесконечные значения необходимо договориться об арифметических операциях над символами бесконечность. В основном эти правила аналогичные тем, которые применялись в математическом анализе. Например: ¥ ± а = ¥; ¥ + ¥ = ¥ и т.п. Но есть определенные отличия. Так мы полагаем, что 0´¥ = 0 и ¥ - ¥ = -¥ - (-¥) = 0. В математическом анализе последние два действия полагались неопределенностью.

Лемма 2. Если функция множеств f является аддитивной, принимает конечные значения на множествах А, В, В\А ÎÂ и А Ì В, то f(B\A) = f(B) – f(A).

Утверждение легко вытекает из дизъюнктного представления В = А + В\А.

Следствие. Если функция множеств f является аддитивной, неотрицательной, принимает конечные значения на множествах А, В, В\А ÎÂ и А Ì В, то f(B) ? f(A).

Теорема 4. Для того, чтобы аддитивная функция f, принимающая конечные значения и задан­ная на кольце K, была счетно-аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы для любой убывающей после­довательности множеств А_i Î K (i = 1,2,...), т.е.

Необходимость. Пусть А_i убывающая последовательность множеств, т.е., при этом = ?. Построим систему непересекающихся множеств B_i = A_i\A_i+1. Тогда нетрудно видеть, что А₁ = . В силу счетной аддитивности функции множеств f(A₁) = . Последнее равенство означает, что при n ® ¥. Но . Последнее равенство в сочетание с поведением частичных сумм доказывает утверждение.

Достаточность. Пусть дизъюнктные множества A_n Î K, объединение которых А = A_k тоже принадлежит K. Построим последовательность убывающих множеств В_n = A\ . В силу леммы, аддитивности функции множества и условий теоремы f(B_n) = f(A) – f() = f(A) - ® 0. Последнее доказывает счетную аддитивность функции множеств.

Следующая теорема доказывается аналогично.

Теорема 5. Пусть f - счетно-аддитивная функция, заданная на кольце K. Если А ÎK и А = А_i, где A_i ÎK и образуют возрастающую последовательность, т.е. А₁ Ì А₂ Ì…, то

f(A) = f(A_i).

То же равенство справедливо, если А = А_i (А, А_i Î K), А_i образуют убывающую последовательность и f(A_i) конечные числа, начиная с некоторого i.