<<
>>

3. Функция множеств

Определение 14. Вещественнозначная функция, областью определения которой является некоторая система множеств Â, называется функцией множества.

Определение 15. Функция f называется счетно-аддитивной, если для любой не более чем счетной совокупности дизъюнктных множеств An Î Â, объединение которых А = An тоже принадлежит Â, имеет место равенство

Определение 16. Если равенство ограничено случаем, когда А есть объединение конеч­ного числа дизъюнктных множеств Аn (А, Аn Î Â), то функция f называется конечно-аддитивной или просто аддитивной.

Так как функции могут принимать бесконечные значения необходимо договориться об арифметических операциях над символами бесконечность. В основном эти правила аналогичные тем, которые применялись в математическом анализе. Например: ¥ ± а = ¥; ¥ + ¥ = ¥ и т.п. Но есть определенные отличия. Так мы полагаем, что 0´¥ = 0 и ¥ - ¥ = -¥ - (-¥) = 0. В математическом анализе последние два действия полагались неопределенностью.

Лемма 2. Если функция множеств f является аддитивной, принимает конечные значения на множествах А, В, В\А ÎÂ и А Ì В, то f(B\A) = f(B) – f(A).

Утверждение легко вытекает из дизъюнктного представления В = А + В\А.

Следствие. Если функция множеств f является аддитивной, неотрицательной, принимает конечные значения на множествах А, В, В\А ÎÂ и А Ì В, то f(B) ? f(A).

Теорема 4. Для того, чтобы аддитивная функция f, принимающая конечные значения и задан­ная на кольце K, была счетно-аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы для любой убывающей после­довательности множеств Аi Î K (i = 1,2,...), т.е. таких что А1 E А2 E А3 E …, с пустым пересечением выполнялось f(Ai) ® 0 при i ®¥.

Необходимость. Пусть Аi убывающая последовательность множеств, т.е., при этом = ?. Построим систему непересекающихся множеств Bi = Ai\Ai+1. Тогда нетрудно видеть, что А1 = . В силу счетной аддитивности функции множеств f(A1) = . Последнее равенство означает, что при n ® ¥. Но . Последнее равенство в сочетание с поведением частичных сумм доказывает утверждение.

Достаточность. Пусть дизъюнктные множества An Î K, объединение которых А = Ak тоже принадлежит K. Построим последовательность убывающих множеств Вn = A\ . В силу леммы, аддитивности функции множества и условий теоремы f(Bn) = f(A) – f() = f(A) - ® 0. Последнее доказывает счетную аддитивность функции множеств.

Следующая теорема доказывается аналогично.

Теорема 5. Пусть f - счетно-аддитивная функция, заданная на кольце K. Если А ÎK и А = Аi, где Ai ÎK и образуют возрастающую последовательность, т.е. А1 Ì А2 Ì…, то

f(A) = f(Ai).

То же равенство справедливо, если А = Аi (А, Аi Î K), Аi образуют убывающую последовательность и f(Ai) конечные числа, начиная с некоторого i.

<< | >>
Источник: Функциональный анализ. Лекции. 2017

Еще по теме 3. Функция множеств:

  1. 6.3. Роль и функции партий в политической системе
  2. Глава 4. Множества и отношения
  3. § 12. Классификация функций
  4.   §30.Группы имен существительных, имеющих формы только единственного числа.Функции категории единственного числа
  5.   §32.Функции множественного числа в системе имен существительных
  6. § 30. Группы имен существительных, имеющих формы только единственного числа.Функции категории единственного числа
  7. § 32. Функции множественного числа в системе имен существительных
  8. §32.Функции множественного числа в системе имен существительных
  9. Тема 10. Множества. Числовые множества. Функция.
  10. §10. Функции
  11. 1.3. Теоретико-множественная модель работы службы скорой медицинской помощи
  12. Основные свойства элементарных функций
  13. §3.7. Ограниченно-детерминированные функции. Информационное дерево
  14. Определение области. Линии уровня функции. Направление наибольшего возрастания (убывания) функции в точке. Градиент.
  15. 1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества
  16. 9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра
  17. 3. Функция множеств
  18. 6. Измеримые множества
  19. 1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на пространстве с конечной мерой
  20. I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОЖЕСТВА ВОЗМОЖНЫХ КОНТЕКСТОВ ПРОИЗНЕСЕНИЯ