<<
>>

1.4. Прямое произведение множеств. Отношения и функции

Определение. Упорядоченная пара интуитивно определяется как совокупность, состоящая из двух элементов х и у, расположенных в определенном порядке. Две пары , считаются равными тогда и только тогда, когда x=u, y=v.

Упорядоченная n-ка элементов х1, …, хn обозначается .

Определение. Прямым произведением множеств X и Y называется множество , элементами которого являются все возможные упорядоченные пары , такие, что .

Определение. Прямым произведением множеств Х1, Х2, …, Хn называется совокупность всех упорядоченных n-ок таких, что . Если Х1=Х2=…Хn, то пишут .

Пример 7.

1. Пусть X={1, 2, 3}, Y={0, 1}. Тогда ; .

2. Пусть Х – множество точек отрезка [0, 1], а Y – множество точек отрезка [1, 2]. Тогда - множество точек квадрата с вершинами в точках (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1,2).

Определение. Бинарным (или двуместным) отношением r называется множество упорядоченных пар.

Если r есть отношение и пара принадлежит этому отношению, то наряду с записью Îr употребляется запись xry. Элементы х и у называются координатами (или компонентами) отношения r.

Определение. N-арным отношением называется множество упорядоченных n-ок.

Определение. Областью определения бинарного отношения r называется множество

Определение.

Областью значений бинарного отношения r называется множество

Пусть rI X´Y определено в соответствии с изображением на рисунке 8 . Область определения Dr и область значений Er определяются соответственно:

Dr={x: (x, y) Î r}, Er={y: (x,y)Î r}.

Бинарное отношение можно задать любым из способов задания множеств. Помимо этого отношения, определенные на конечных множествах обычно задаются: списком (перечислением) пар, для которых это отношение выполняется. матрицей – бинарному отношению соответствует квадратная матрица порядка n, в которой элемент cij, стоящий на пересечении i-той строки и j-го столбца, равен 1, если ai и aj имеет место отношение, или 0, если оно отсутствует.

Пример 8.

Пусть M={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Задать в явном виде (списком) и матрицей отношение r, заданное на множестве , если r означает «быть строго меньше».

Отношение r как множество содержит все пары элементов a, b из М такие, что a

<< | >>
Источник: Лекции - Дискретная математика. 2016

Еще по теме 1.4. Прямое произведение множеств. Отношения и функции: