§7. Декартово произведение множеств

В повседневных разговорах мы часто употребляем понятие пары: пара обуви, танцевальная пара.

Пример 1. Число 68. Это число записывается при помощи двух цифр 6 и 8, которые необходимо записывать в определенном порядке: сначала 6, а затем 8.

В таком случае, когда важен порядок расположения элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В данном примере мы имеем дело с упорядоченными парами.

Пусть дано некоторое множество Х. Упорядоченной парой называют два элемента множества, взятые в определенном порядке.

Упорядоченную пару, образованную из элементов х и у множества Х, обозначают (х, у); элемент называют первой компонентой (координатой), а элемент — второй компонентой (координатой) этой пары.

В упорядоченной паре может быть, что х = у. Например, число 55 можно рассматривать, как упорядоченную пару (5, 5).

Две упорядоченные пары называются равными, если их соответствующие компоненты равны, т.е. (х, у) = (z, t), если х = z и y = t. Отсюда следует, что если x ? y, то (х, у) ? (y, x).

Можно образовывать упорядоченные пары и из элементов двух разных множеств.

Определение 1. Пусть Х и Y — два множества. Декартовым (или прямым) произведением множеств Х и Y называется множество Х ´ Y, состоящие из всех упорядоченных пар (x, y), в которых первая компонента х принадлежит Х, а вторая компонента у принадлежит Y.

Таким образом, .

Пример 2. Пусть Х = {1, 2, 3}, Y = {k, l}. Декартовое произведение Х ´ Y состоит из шести элементов:

Х ´ Y = {(1, k), (2, k), (3, k), (1, l), (2, l), (3, l)}.

Выпишем теперь декартовое произведение

Y ´ Х = {(k, 1), (k, 2), (k, 3), (l, 1), (l, 2), (l, 3)}.

Таким образом, Х ´ Y ? Y ´ Х. Результат декартового произведения зависит от порядка сомножителей.

С помощью примера легко показать, что для операции декартового произведения не выполняется ассоциативный закон

Х ´ (Y ´ Z) ? (Х ´ Y) ´ Z.

Для операции декартового произведения относительно операции объединения множеств справедлив дистрибутивный закон:

Х ´ (Y È Z) = Х ´ Y È Х ´ Z.

Доказательство равенства двух множеств, как известно, состоит из двух частей.

1. Пусть х Î Х ´ (Y È Z). Докажем, что х Î Х ´ Y È X ´ Z. По определению декартового произведения, х является упорядоченной парой , где , или .

Если , , то пара и, следовательно, х Î Х ´ Y È X ´ Z. Аналогично, если , , то и, следовательно, .

2. Пусть . Нужно доказать, что . Доказательство предоставляем читателю.

Для операции декартова произведения относительно операции вычитания и пересечения множеств также справедлив дистрибутивный закон:

.

Элементы декартового произведения двух конечных множеств Х, Y удобно записывать в виде прямоугольной таблицы, где по вертикали записывают элементы множества Х, а по горизонтали — элементы множества Y.

Пример 3. Найдем декартовое произведение множеств Х и Y, если Х = {1, 2, 3, 4} и Y = {а, b, c}.

Y Х	а	b	с
1	(1, а)	(1, b)	(1, с)
2	(2, а)	(2, b)	(2, с)
3	(3, а)	(3, b)	(3, с)
4	(4, а)	(4, b)	(4, с)

Таким образом,

Х ´ Y = {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a), (1, b), (2, b), (3, b), (4, b),

(1, c), (2, c), (3, c), (4, c)}.

В математике рассматривают также упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов.

Пусть даны множества Х1, Х2, …, Хn . Возьмем элемент х1 Î Х1, х2 Î Х2, …, хn Î Хn, и образуем упорядоченную систему из элементов (х1, х2, …, хn) которую называют кортежем длины . Кортежи длины 2 называются парами, длины 3 — тройками и т.д., длины — энками (–ками). Два кортежа называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковые компоненты с одинаковыми номерами.

При помощи понятия кортежа можно определить понятие декартового произведения множеств.

Определение 2. Декартовым произведением множеств Х1, Х2, …, Хn называется множество всевозможных кортежей (х1, х2 , …, хn) длины n таких, что

х1 Î Х1, х2 Î Х2, …, хn Î Хn.

.

Пусть Х и Y — числовые множества. Декартовое произведение числовых множеств Х ´ Y можно изобразить на координатной плоскости (плоскость на которой выбраны две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу (координатные оси)с указанными на них положительными направлениями, точка их пересечения О — началом координат, единицу масштаба.

На оси абсцисс (Ох) откладываем элементы множества Х, и через каждый из них проводим вертикальную линию. На оси ординат (Оу) откладываем элементы множества Y, через каждый из них проводим горизонтальную линию. Точки пересечения проведенных таких образом горизонтальных и вертикальных линий, очевидно, изображают элементы декартового произведения X ´ Y.

Пример 3. Покажем на координатной плоскости, как изображается декартовое произведение множеств А и В, если

а) А = {2, 5, 6}, В = {3, 4}; рис. 9

б) А = {1, 3, 5}, В = [1, 5]; рис. 10

в) А = [1, 3], В = [2, 5]; рис. 11

г) А = R, В = [1, 2] рис. 12

Рис. 9	Рис. 10
Рис. 11	Рис. 12