<<
>>

§7. Декартово произведение множеств

В повседневных разговорах мы часто употребляем понятие пары: пара обуви, танцевальная пара.

Пример 1. Число 68. Это число записывается при помощи двух цифр 6 и 8, которые необходимо записывать в определенном порядке: сначала 6, а затем 8.

В таком случае, когда важен порядок расположения элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В данном примере мы имеем дело с упорядоченными парами.

Пусть дано некоторое множество Х. Упорядоченной парой называют два элемента множества, взятые в определенном порядке.

Упорядоченную пару, образованную из элементов х и у множества Х, обозначают (х, у); элемент называют первой компонентой (координатой), а элемент — второй компонентой (координатой) этой пары.

В упорядоченной паре может быть, что х = у. Например, число 55 можно рассматривать, как упорядоченную пару (5, 5).

Две упорядоченные пары называются равными, если их соответствующие компоненты равны, т.е. (х, у) = (z, t), если х = z и y = t. Отсюда следует, что если x ? y, то (х, у) ? (y, x).

Можно образовывать упорядоченные пары и из элементов двух разных множеств.

Определение 1. Пусть Х и Y — два множества. Декартовым (или прямым) произведением множеств Х и Y называется множество Х ´ Y, состоящие из всех упорядоченных пар (x, y), в которых первая компонента х принадлежит Х, а вторая компонента у принадлежит Y.

Таким образом, .

Пример 2. Пусть Х = {1, 2, 3}, Y = {k, l}. Декартовое произведение Х ´ Y состоит из шести элементов:

Х ´ Y = {(1, k), (2, k), (3, k), (1, l), (2, l), (3, l)}.

Выпишем теперь декартовое произведение

Y ´ Х = {(k, 1), (k, 2), (k, 3), (l, 1), (l, 2), (l, 3)}.

Таким образом, Х ´ Y ? Y ´ Х. Результат декартового произведения зависит от порядка сомножителей.

С помощью примера легко показать, что для операции декартового произведения не выполняется ассоциативный закон

Х ´ (Y ´ Z) ? (Х ´ Y) ´ Z.

Для операции декартового произведения относительно операции объединения множеств справедлив дистрибутивный закон:

Х ´ (Y È Z) = Х ´ Y È Х ´ Z.

Доказательство равенства двух множеств, как известно, состоит из двух частей.

1. Пусть х Î Х ´ (Y È Z). Докажем, что х Î Х ´ Y È X ´ Z. По определению декартового произведения, х является упорядоченной парой , где , или .

Если , , то пара и, следовательно, х Î Х ´ Y È X ´ Z. Аналогично, если , , то и, следовательно, .

2. Пусть . Нужно доказать, что . Доказательство предоставляем читателю.

Для операции декартова произведения относительно операции вычитания и пересечения множеств также справедлив дистрибутивный закон:

.

Элементы декартового произведения двух конечных множеств Х, Y удобно записывать в виде прямоугольной таблицы, где по вертикали записывают элементы множества Х, а по горизонтали — элементы множества Y.

На пересечении соответствующих строк и столбиков записываются элементы множества Х ´ Y.

Пример 3. Найдем декартовое произведение множеств Х и Y, если Х = {1, 2, 3, 4} и Y = {а, b, c}.

Y Х

а

b

с

1 (1, а) (1, b) (1, с)
2 (2, а) (2, b) (2, с)
3 (3, а) (3, b) (3, с)
4 (4, а) (4, b) (4, с)

Таким образом,

Х ´ Y = {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a), (1, b), (2, b), (3, b), (4, b),

(1, c), (2, c), (3, c), (4, c)}.

В математике рассматривают также упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов.

Пусть даны множества Х1, Х2, …, Хn . Возьмем элемент х1 Î Х1, х2 Î Х2, …, хn Î Хn, и образуем упорядоченную систему из элементов (х1, х2, …, хn) которую называют кортежем длины . Кортежи длины 2 называются парами, длины 3 — тройками и т.д., длины — энками (–ками). Два кортежа называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковые компоненты с одинаковыми номерами.

При помощи понятия кортежа можно определить понятие декартового произведения множеств.

Определение 2. Декартовым произведением множеств Х1, Х2, …, Хn называется множество всевозможных кортежей (х1, х2 , …, хn) длины n таких, что

х1 Î Х1, х2 Î Х2, …, хn Î Хn.

.

Пусть Х и Y — числовые множества. Декартовое произведение числовых множеств Х ´ Y можно изобразить на координатной плоскости (плоскость на которой выбраны две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу (координатные оси)с указанными на них положительными направлениями, точка их пересечения О — началом координат, единицу масштаба.

На оси абсцисс (Ох) откладываем элементы множества Х, и через каждый из них проводим вертикальную линию. На оси ординат (Оу) откладываем элементы множества Y, через каждый из них проводим горизонтальную линию. Точки пересечения проведенных таких образом горизонтальных и вертикальных линий, очевидно, изображают элементы декартового произведения X ´ Y.

Пример 3. Покажем на координатной плоскости, как изображается декартовое произведение множеств А и В, если

а) А = {2, 5, 6}, В = {3, 4}; рис. 9

б) А = {1, 3, 5}, В = [1, 5]; рис. 10

в) А = [1, 3], В = [2, 5]; рис. 11

г) А = R, В = [1, 2] рис. 12

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

<< | >>
Источник: Неизвестный. Лекции по высшей математике. 0000

Еще по теме §7. Декартово произведение множеств:

  1. 5.4. РОЛЬ ИНФОРМИРОВАННОСТИ АГЕНТОВ
  2. 5.4. МНОГОУРОВНЕВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДОГОВОРАМИ
  3. МАНИПУЛИРОВАНИЕ РЕЛЯЦИОННЫМИ ДАННЫМИ
  4. Содержание дисциплины
  5. Отношения и функции.
  6. Перечень вопросов к зачету на первом курсе
  7. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  8. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  9. §7. Декартово произведение множеств
  10. §8. Понятие соответствия между множествами. Способы задания соответствий
  11. §12. Понятие бинарного отношения между элементами одного множества
  12. Психодиагностические методики, виды методик.
  13. Операции над графами
  14. 2.1 Основные определения
  15. 1.3.1. Некоторые определения из теории множеств
  16. Задачи для самостоятельного решения
  17. § 2. Измеримые пространства.
  18. Список обозначений.
  19. Как возможна динамическая, но ассерторическая логика?