§6. Задачи, связанные с операциями над конечными множествами

Часто требуется определить число элементов или в множестве, или в объединении множеств, или в дополнении подмножеств. Для решения таких задач существуют определенные приемы.

Условимся число элементов конечного множества А обозначать через n(A).

Задача 1. Найти число элементов объединения двух множеств А и В.

Вообще, число элементов объединения двух множеств равно сумме чисел элементов в каждом из них, уменьшенной на число элементов пересечения этих множеств, т.е. для любых множеств А и B справедливо равенство:

n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B).

Если же множества А и В не пересекаются, т.е. A Ç B = ?, то n(A È B) = n(A) + n(B).

Аналогично, число элементов трех пересекающихся множеств А, В, С вычисляется по формуле

n(A È B È С) = n(A) + n(B) + n(С) – n(A Ç B) – n(A Ç С) –

– n(B Ç С) + n(A Ç B Ç С),

а если множества А, В и С не пересекаются, то по формуле

n(A È B È С) = n(A) + n(B) + n(С).

Задача 2. Найти число элементов разности двух множеств А и В.

По определению разности имеем А \ В = {x| х Î А, x Ï В}, откуда следует, что если множества А и В пересекающиеся, то (см. рис. 5)

n (А \ В) = n(A) – n(A Ç B).

Если же В Ì А (В — подмножество множества А), то (см. рис. 6)

n (А \ В) = = n(A) – n(B).

Задача 3. Из 40 студентов группы 35 человек успешно сдали экзамен по математике, а 37 — по белорусскому языку. Два студента получили неудовлетворительные оценки по двум предметам. Сколько студентов имеют академическую задолженность?»

Пусть С — множество студентов группы, М — множество студентов, успешно сдавших математику, В — множество студентов, успешно сдавших белорусский язык.

Данную задачу удобно решать при помощи диаграммы Эйлера–Венна. Изобразим множества С, М, В на диаграмме Эйлера–Венна (рис. 8).

Рис. 8

Множество С разбилось на 4 класса (I, II, III, IV) с помощью двух свойств М и В. Теперь достаточно вписать число элементов каждого из классов разбиения и получим наглядную картину.

В классе IV — 2 элемента (студенты, которые получили неудовлетворительную оценку по двум предметам). Тогда на все остальные классы I, II, IV остается 38 человек. В I и II классах вместе 35 человек, тогда в классе III остается 3 человека (38 – 35 = 3). В I и III классах вместе 37 человек, тогда в I классе 34 человека (37 – 3 = 34). Во II классе 1 человек (35 – 34 = 1).

Итак, студенты, имеющие академическую задолженность, — это элементы классов II, III, IV:1 + 2 + 3 = 6.