§5. Разбиение множества на классы

Определение. Разбиением множества А на подмножества (классы) называется система его непустых подмножеств, обладающая следующими свойствами:

1) объединение всех подмножеств этой системы равно множеству А;

2) никакие два различные подмножества не содержат общих элементов.

Графическое изображение разбиения множества изображено на рисунке 7.

Рис. 7

Множество А разбито на пять классов А1, А2, А3, А4, А5.

Первое условие, накладываемое на систему подмножеств, которая является разбиением множества А, означает, что каждый элемент из множества А входит в какое–нибудь подмножество системы; другое условие означает, что каждый элемент из А входит только в одно подмножество системы.

Пример 1. Будем рассматривать множество учеников школы. Школа состоит из классов: 1, 2, 3, …, 11. Совокупность классов является разбиением, так как объединение учеников всех классов дает множество учеников школы, и никакие два класса не пересекаются: один и тот же ученик не может учиться в двух разных классах.

Отметим, что не всякая система подмножеств данного множества представляет собой разбиение этого множества.

Пример 3. Рассмотрим множество параллелограммов и выделим в нём следующие подмножества: а) прямоугольников, б) ромбов, в) параллелограммов с неравными сторонками и непрямыми углами. Будет ли это разбиением? Нет, потому что квадраты попадают в множество а) и в множество б).

Таким образом, разбиение связано с выделением из множества его подмножеств. Но, чтобы выделить подмножества, достаточно указать характеристическое свойство его элементов.

При помощи одного свойства осуществляется разбиение множества, вообще, на 2 класса, при помощи двух свойств — на 4 класса, при помощи трех свойств — на 8 классов, при помощи свойств — на классов. В частных случаях может получиться меньше классов, так как некоторые из подмножеств оказываются пустыми.