7. Отображение компактных множеств. Теорема Вейерштраса об ограниченности и достижении точных граней непрерывной функцией

Теорема 9. Пусть Х, У – топологические пространства, Х компактно, а f: Х ® У – непрерывное отображение. Тогда образ f(Х) – компактное пространство в У.

Доказательство. Пусть {V_a} - произвольное открытое покрытие f (Х).

Теорема 10. Пусть Х, У – топологические пространства, Х компактно, У – отделимое, а f: Х ® У – непрерывное отображение. Тогда f замкнутое отображение.

Доказательство. Всякое замкнутое множество компактного пространства само является компактным множеством (теорема 1.13). Итак, пусть В – замкнутое множество в пространстве Х (следовательно компактное). По предыдущей теореме f (В) – компактное множество. В силу отделимости У это множество обязано быть замкнутым (теорема 1.15).

Теорема 11. Пусть Х, У – топологические пространства, Х компактно, У – отделимое, а f: Х ® У – непрерывное биективное отображение. Тогда f - гомеоморфизм.

Доказательство практически очевидное.

Теорема 12 (Вейерштрасса). Всякая непрерывная функция f : Х ® R на компактном пространстве Х ограничена и достигает на Х своей верхней (нижней) грани.

Доказательство. В силу компактности Х и непрерывности f образ f (X) является компактным множеством в R. Но любое компактное множество в R ограничено и замкнуто. Ограниченность f (X) означает ограниченность функции. Замкнутость числового множества f (X) влечет принадлежность ему его точных граней. Это означает, что точная грань (например, супремум) достигается на каком-то элементе х₀ ÎХ, т.е.

Теорема 13 (Кантора). Всякая непрерывная функция f(x), определённая на компактном множестве Q, метрического пространства (Х, r), равномерно непрерывна на нём: иными словами, для любого ε > 0 можно найти такое δ>0, что из ρ(x, y)< δ следует |f(x) - f(y)| < ε

Доказательство. Допуская противное, мы для некоторого ε₀ сможем указать такие последовательности x_n и y_n, что

ρ (x_n, y_n)< , |f(x_n) - f(y_n)| ε₀ (12)

Последовательность {x_n} в силу предположения содержит подпоследовательность {x_ni}, сходящуюся к некоторой точке х₀. Тогда и подпоследовательность {y_ni} сходится к точке х₀. Начиная с некоторого номера, точки x_ni и y_ni попадают в такую окрестность точки х₀ , в которой выполняется неравенство |f(x ) - f(x₀)|