7. Отображение компактных множеств. Теорема Вейерштраса об ограниченности и достижении точных граней непрерывной функцией
Теорема 9. Пусть Х, У – топологические пространства, Х компактно, а f: Х ® У – непрерывное отображение. Тогда образ f(Х) – компактное пространство в У.
Доказательство. Пусть {Va} - произвольное открытое покрытие f (Х).
В силу определения непрерывного отображения, множества f -1(Va) также являются открытыми и, очевидно, образуют открытое покрытие для Х. В силу компактности Х существует конечный набор из этого покрытия такой, что
. Но в этом случае и f (Х) 
, что доказывает компактность f (Х). Теорема 10. Пусть Х, У – топологические пространства, Х компактно, У – отделимое, а f: Х ® У – непрерывное отображение. Тогда f замкнутое отображение.
Доказательство. Всякое замкнутое множество компактного пространства само является компактным множеством (теорема 1.13). Итак, пусть В – замкнутое множество в пространстве Х (следовательно компактное). По предыдущей теореме f (В) – компактное множество. В силу отделимости У это множество обязано быть замкнутым (теорема 1.15).
Теорема 11. Пусть Х, У – топологические пространства, Х компактно, У – отделимое, а f: Х ® У – непрерывное биективное отображение. Тогда f - гомеоморфизм.
Доказательство практически очевидное.
Теорема 12 (Вейерштрасса). Всякая непрерывная функция f : Х ® R на компактном пространстве Х ограничена и достигает на Х своей верхней (нижней) грани.
Доказательство. В силу компактности Х и непрерывности f образ f (X) является компактным множеством в R. Но любое компактное множество в R ограничено и замкнуто. Ограниченность f (X) означает ограниченность функции. Замкнутость числового множества f (X) влечет принадлежность ему его точных граней. Это означает, что точная грань (например, супремум) достигается на каком-то элементе х0 ÎХ, т.е.
f (x0) = sup f (X).Теорема 13 (Кантора). Всякая непрерывная функция f(x), определённая на компактном множестве Q, метрического пространства (Х, r), равномерно непрерывна на нём: иными словами, для любого ε > 0 можно найти такое δ>0, что из ρ(x, y)< δ следует |f(x) - f(y)| < ε
Доказательство. Допуская противное, мы для некоторого ε0 сможем указать такие последовательности xn и yn, что
ρ (xn, yn)< 
, |f(xn) - f(yn)| 
ε0 (12)
Последовательность {xn} в силу предположения содержит подпоследовательность {xni}, сходящуюся к некоторой точке х0. Тогда и подпоследовательность {yni} сходится к точке х0. Начиная с некоторого номера, точки xni и yni попадают в такую окрестность точки х0 , в которой выполняется неравенство |f(x ) - f(x0)|