4. Мера и ее простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве

Определение 17. Пусть X - любое множество. Мерой в X называется вещественнозначная неотрицательная счетно-аддитивная функция m, заданная на некотором полукольце P подмножеств множества X.

Определение 18. Мера m называется конечной, если m(А) < + ¥ для " А Î P.

Определение 19. Мера m называется s-конечной, если " А Î P $ такие А_n Î P (n = 1, 2,...), что А Ì и мера m(А_n) < + ¥ для " n.

Определение 20. Пусть m – произвольная мера в X, заданная на каком-то полукольце P. Она называется полной, если из того, что А Î P, m(А) = 0 и Е Ì А вытекает, что Е Î P.

Лемма 3. Если P - полукольцо, A_n ÎP, A = ÎP, то = , где С_k Î P, при этом для каждого k существует n(k) такое, что С_k Ì A_n(k).

Доказательство. Очевидно, что

А = А₁È[(А\А₁)ÇA₂]È[(A\A₁)Ç(A\A₂)ÇA₃]…[(A\A_k)ÇA_n+1]… (1)

Заметим, сразу, что все множества, стоящие в квадратных скобках дизъюнктны между собой по построению. По условиям полукольца А\А_k = , где С_ki Î P. Следовательно

(A\A_k)ÇA_n+1 = ÇA_n+1 =

= ÇA_n+1 = ÇA_n+1 =

= .

Стоящие в последних скобках множества по определению полукольца принадлежат ему и все между собой дизъюнктны. Подставив полученное равенство в (1) получим доказываемое.

Теорема 6. Пусть X – любое множество с полукольцом P и неотрицательной конечно-аддитивной функцией множеств m на этом полукольце. Справедливы следующие свойства:

1. m(?) = 0;

2. Если А, В Î P и А Ì В, то m(A) £ m(B) (монотонность меры);

Если m является мерой (т.е. обладает еще свойством счетной аддитивности), то

3. Если А, A_n ÎP и А Ì , то m(A) £ (полуаддитивность меры)

Доказательство. 1) Легко вытекает из свойства аддитивности и неотрицательности, так как m(?) = m(?È?) = m(?) + m(?) = 2m(?).

2) В силу свойств полукольца найдется конечный набор множеств С_k ÎP таких, что В = А + С_k.Тогда из аддитивности m вытекает m(B) = m(A) + m(С_k), откуда и неотрицательности m уже легко следует нужное неравенство.

3) Из условий теоремы получаем представление А = , где В_n = AÇA_nÎP. Воспользуемся теперь леммой: А = , где С_kÎP. Отметим, что в силу леммы

,

при этом одно и тоже С_k может полностью попасть в разные А_n (но, что очень важно в силу леммы, хотя бы в одно из них обязательно попадает полностью). Отсюда уже легко следует, что

m(А) = .

Теорема 7. Функция V, заданная на полукольце P ячеек в R_n и равная для каждой ячейки ее объему – s-конечная мера в R_n.

Доказательство. Практически в доказательстве нуждается только счетная аддитивность введенной функции, так как конечная аддитивность очевидна. Пусть D{a₁, b₁;...; а_n, b_n} = D{c₁(k), d₁(k);…; c_n(k), d_n(k)}. Далее предполагаем, что все ячейки, входящие в сумму имеют конечные ребра, в противном случае равенство очевидно. Ясно, что D{c₁(k), d₁(k);…; c_n(k), d_n(k)} Ì D {a₁, b₁;...; а_n, b_n} для любого m. В силу монотонности и аддитивности функции множеств V выполняется неравенство V(D{c₁(k), d₁(k);…; c_n(k), d_n(k)}) = V(D{c₁(k), d₁(k);…; c_n(k), d_n(k)}) £ V(D {a₁, b₁;...; а_n, b_n}) для любого m. Предельным переходом по m получаем неравенство

V(D{c₁(k), d₁(k);…; c_n(k), d_n(k)}) £ V(D {a₁, b₁;...; а_n, b_n}).

Докажем противоположное неравенство. Рассмотрим систему открытых параллелепипедов {D₀{c₁(k) - e/2^k, d₁(k) + e/2^k; …..; c_n(k) - e/2^k, d_n(k) + e/2^k}}, где e произвольное положительное число. Данная система покрывает замкнутый параллелепипед D*{a₁, b₁;...; а_n, b_n}.

D*{a₁, b₁;...; а_n, b_n} Ì D₀{c₁(k) - e/2^k, d₁(k) + e/2^k; …..; c_n(k) - e/2^k, d_n(k) + e/2^k}

(без ограничения общности мы предположили, что нужное конечное покрытие находится в начале). Тогда

V(D*{a₁, b₁;...; а_n, b_n}) £

£ V(D₀{c₁(k) - e/2^k, d₁(k) + e/2^k; …..; c_n(k) - e/2^k, d_n(k) + e/2^k}) £

£ V(D₀{c₁(k) - e/2^k, d₁(k) + e/2^k; …..; c_n(k) - e/2^k, d_n(k) + e/2^k}) £

£ V(D₀{c₁(k) - e/2^k, d₁(k) + e/2^k; …..; c_n(k) - e/2^k, d_n(k) + e/2^k}) £

£ V(D₀{c₁(k), d₁(k); …..; c_n(k), d_n(k)}) + 2ⁿV(D*{a₁, b₁;...; а_n, b_n}) e/2^k =

= V(D₀{c₁(k), d₁(k); …..; c_n(k), d_n(k)}) + 2ⁿV(D*{a₁, b₁;...; а_n, b_n})e.

В силу произвольности e последнее доказывает противоположное неравенство.