<<
>>

7. Мера Лебега на Rn

Пусть m мера, простроенная по теореме 7 на полукольце ячеек. Эта мера порождает внешнюю меру (теорема 8). Мера, порожденная этой внешней мерой на множествах из Rn называется мерой Лебега на Rn.

Следующая теорема является аналогом ранее доказанной теоремы о структуре открытых множеств на числовой прямой.

Теорема 13. Всякое открытое множество G Ì Rn представимо в виде не более чем счет­ного объединения дизъюнктных n-мерных открытых параллелепипедов с конечными ребрами.

Теорема 14. Каждое открытое и каждое замкнутое множество из Rn измеримо.

Доказательство. Легко вытекает из того, что все ячейки в Rn измеримы по теореме 9, далее система измеримых множеств s-алгебра (теорема 9) и любой открытый параллелепипед можно представить в виде счетного объединения возрастающей последовательности ячеек. Воспользовавшись теперь теоремой 13 и снова замкнутостью системы измеримых множеств относительно счетного объединения, получим измеримость любого открытого множества. Измеримость замкнутых множеств получается опять же в силу замкнутости системы измеримых множеств относительно операции дополнения.

Теорема 15. Любой параллелепипед D измерим, при этом m(D) = VD.

Доказательство. Доказательство легко вытекает из вложений D0ÇЕ Ì DÇЕ Ì D*ÇЕ и вытекающего отсюда неравенства внешних мер m*(D0ÇЕ) £ m*(DÇЕ) £ m*(D*ÇЕ), а также равенства m*(D*\D0) = 0.

Теорема 16. Всякое конечное или счетное множество А точек из Rn измеримо и его мера равна 0.

Доказательство. Пронумеруем точки множества А в виде последовательности zn. Возьмем произвольное e > 0. Поместим каждую точку в n-мерный куб (открытый или замкнутый), объем которого не превосходит e/2n. Тогда m*(А) £ e. В силу теоремы 11 это означает, что множество А измеримо и имеет меру 0.

Определение 28. Борелевскими множествами называют множества, принадлежащие наименьшей s-алгебре множеств, содержащей все открытые и замкнутые множества в Rn.

Так как по теореме 14 все открытые и замкнутые множества измеримы, а все измеримые множества образуют s-алгебру, то очевидна следующая теорема.

Теорема 17. Все борелевские множества из Rn измеримы.

Теорема 18. Внешняя мера любого множества Е Ì Rn равна нижней грани мер всевоз­можных открытых множеств, содержащих Е

m*(Е) = μ(G)

Доказательство. Утверждение практически очевидно, так как, покрывая множество ячейками, мы легко можем покрыть это множество открытыми параллелепипедами, объем которых в совокупности отличается от объема покрытия ячейками на сколь угодно малое положительное число.

Теорема 19. Мера любого ограниченного измеримого множества Е Ì Rn равна верхней грани мер всевоз­можных замкнутых множеств, содержащихся в Е

m(Е) = μ(F)

Доказательство. Поместим множество Е в некий замкнутый ограниченный параллелепипед Р.

При этом предполагаем, что внутренность параллелепипеда Р также содержит множество Е. В силу ограниченности множества Е это можно сделать. В силу свойств меры множество Р – Е измеримо. Из теоремы 18 и свойств меры вытекает (в силу условий на Р наименьшую грань можно брать только по открытым множествам содержащимся в Р):

m(Е) = m(Р – (Р – Е)) = m(Р) - m(Р – Е) = m(Р) - μ(G) = m(Р – G).

В силу открытости множества G множество F = P – G является замкнутым. Отсюда вытекает утверждение теоремы.

Задачи

1. Доказать, что система всех конечных подмножеств заданного множества является кольцом.

2. Найти в задаче 1. условие на множество , необходимое и достаточное для того, чтобы кольцо являлось алгеброй.

3. Пусть – бесконечное множество, а – система всех не более чем счетных подмножеств . Доказать, что является -кольцом.

4. Найти в задаче 3. условие на , необходимое и достаточное для того, чтобы являлось -алгеброй.

5. Пусть – множество, – система всех таких множеств , что либо , либо не более чем счетно. Доказать, что является -алгеброй.

6. Пусть – множество, – система всех таких множеств , что либо , либо конечно. Доказать что является алгеброй.

7. Доказать, что система всех интервалов, отрезков и полуинтервалов из отрезка образует полукольцо.

8. Доказать, что система всех интервалов (включая пустой) и система всех отрезков (с добавлением пустого множества) в R не является полукольцом.

9. Доказать, что система всех открытых множеств в R не является полукольцом.

10. Пусть – полукольцо (кольцо), . Доказать, что система – полукольцо (алгебра) (эту систему мы будем обозначать через ).

11. Построить систему множеств, которая замкнута относительно операций и , но не является даже полукольцом.

12. Пусть – полукольцо. Доказать, что система является кольцом.

13. Пусть – полукольцо. Доказать, что система совпадает с кольцом , определенным в задаче 12.

14. Доказать, что пересечение произвольной непустой системы колец является кольцом (возможно, кольцом ).

15. Доказать, что пересечение произвольной непустой системы -колец является -кольцом.

16. Доказать, что пересечение произвольной системы алгебр с одной и той же единицей является алгеброй.

17. Привести пример двух -алгебр, пересечение которых не является алгеброй.

18. Доказать, что не существует кольца, содержащего ровно 3 различных множества (включая пустое).

19. Построить пример -алгебр и таких, что не является кольцом.

20. Доказать, что произведение -алгебр и с единицами и является кольцом тогда и только тогда, когда хотя бы одна из этих -алгебр содержит не более двух множеств.

21. Пусть даны множества и , функция , а – система множеств в . Положим для и . Доказать, что если – полукольцо, то – полукольцо.

22. В условиях задачи 21 доказать, что если – кольцо, то – тоже кольцо.

23. В условиях задачи 21 доказать, что если -алгебра, то – тоже -алгебра.

24. Построить множества , , функцию и кольцо подмножеств такие, что не является полукольцом.

25. Пусть задано полукольцо P1 промежутков [a, b) (см. теорема 3) и неубывающая ограниченная функция g(x) на числовой прямой. Определим функцию множеств m([a, b)) = g(b) – g(a). Доказать, что m является счетно-аддитивной мерой на P1 тогда и только тогда, когда функция g(x) непрерывна слева во всех точках. (Замечание. Мера, которая получается из этой меры при продолжении называется мерой Лебега-Стильтьеса).

<< | >>
Источник: Функциональный анализ. Лекции. 2017

Еще по теме 7. Мера Лебега на Rn:

  1. Содержание дисциплины
  2. § 3. Задание вероятностных мер на измеримых пространствах.
  3. § 5. Интеграл Лебега. Математическое ожидание.
  4. §1 Основные определения. Описание процессов с непрерывным временем.
  5. §13 Случайные меры.
  6. §2. Описание простейшей системы массового обслуживания.
  7. §2 Стохастические интегралы по винеровскому процессу.
  8. ВВЕДЕНИЕ
  9. 7. Мера Лебега на Rn
  10. 4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере
  11. 5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина
  12. 1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на пространстве с конечной мерой
  13. 2. Основные свойства интеграла от ограниченной функции
  14. 3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае
  15. 4. Предельный переход под знаком интеграла
  16. 5. Сравнение интегралов Римана и Лебега
  17. 7. s-аддитивность прямого произведения мер. Теорема Фубини