5. Внешняя мера
Определение 21. Пусть X – произвольное множество. Внешней мерой в X называется вещественная неотрицательная функция m*, заданная на совокупности всех подмножеств множества X и удовлетворяющая следующим свойствам:
1.
m*(?) = 0;2. Если Е Ì 
En, где совокупность множеств Еn Ì X не более чем счетна, то 
(счетная полуаддитивность внешней меры).
Теорема 8. Пусть m – мера в X, заданная на полукольце P и пусть m* – некоторая функция, определенная для " Е Ì X по следующему правилу:
1. Если для Е существует не более чем счетное покрытие из полукольца P, т.е. Е Ì 
Аn, где Аn Î P (n = 1, 2,...), то m*(Е) = inf{
m(An)}, где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям указанного типа.
2. В противном случае m*(E) = +¥.
Тогда m* - внешняя мера в X, причем m*(А) = m(А) для "А Î P.
Доказательство. Сразу отметим, что для "А Î P выполняется равенство m*(А) = m(А). Действительно, если А Ì Аn, где Аn Î P (n = 1, 2,...), то по теореме 6 m(A) £ m(An). Следовательно, inf из определения m* достигается на покрытии, состоящем из одного множества, а именно самого А. Из полученного равенства сразу следует первое свойство внешней меры.
Если хотя бы для одного n выполняется равенство m*(Еn) = +¥, то второе свойство внешней меры очевидно.
Пусть m*(En) < +¥ для всех n. Тогда для произвольного e > 0 найдутся покрытие Еn Ì
Bkn множествами Вkn из полукольца P такие, что m*(Еn) ? 
. Так как Е Ì En, а Еn Ì Bkn, то Е Ì Bkn. Следовательно m*(Е) £ 
m(Bkn) £ 
(m*(En) + e/2n) = m*(En) + e.
В силу произвольности e второе свойство из определения внешней меры доказано.
Определение 22. Будем говорить, что внешняя мера m*, построенная в этой теореме, порождена мерой m.