5. Внешняя мера

Определение 21. Пусть X – произвольное множество. Внешней мерой в X называется вещественная неотрицательная функция m*, заданная на совокупности всех подмно­жеств множества X и удовлетворяющая следующим свойствам:

1.

2. Если Е Ì E_n, где совокупность множеств Е_n Ì X не более чем счетна, то (счетная полуаддитивность внешней меры).

Теорема 8. Пусть m – мера в X, заданная на полукольце P и пусть m* – некоторая функция, определенная для " Е Ì X по следующему правилу:

1. Если для Е существует не более чем счетное покрытие из полукольца P, т.е. Е Ì А_n, где А_n Î P (n = 1, 2,...), то m*(Е) = inf{m(A_n)}, где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям указанного типа.

2. В противном случае m*(E) = +¥.

Тогда m* - внешняя мера в X, причем m*(А) = m(А) для "А Î P.

Доказательство. Сразу отметим, что для "А Î P выполняется равенство m*(А) = m(А). Действительно, если А Ì А_n, где А_n Î P (n = 1, 2,...), то по теореме 6 m(A) £ m(A_n). Следовательно, inf из определения m* достигается на покрытии, состоящем из одного множества, а именно самого А. Из полученного равенства сразу следует первое свойство внешней меры.

Если хотя бы для одного n выполняется равенство m*(Е_n) = +¥, то второе свойство внешней меры очевидно.

m*(Е) £ m(B_kn) £ (m*(E_n) + e/2ⁿ) = m*(E_n) + e.

В силу произвольности e второе свойство из определения внешней меры доказано.

Определение 22. Будем говорить, что внешняя мера m*, построенная в этой теореме, порождена мерой m.