<<
>>

5. Внешняя мера

Определение 21. Пусть X – произвольное множество. Внешней мерой в X называется вещественная неотрицательная функция m*, заданная на совокупности всех подмно­жеств множества X и удовлетворяющая следующим свойствам:

1.

m*(?) = 0;

2. Если Е Ì En, где совокупность множеств Еn Ì X не более чем счетна, то (счетная полуаддитивность внешней меры).

Теорема 8. Пусть m – мера в X, заданная на полукольце P и пусть m* – некоторая функция, определенная для " Е Ì X по следующему правилу:

1. Если для Е существует не более чем счетное покрытие из полукольца P, т.е. Е Ì Аn, где Аn Î P (n = 1, 2,...), то m*(Е) = inf{m(An)}, где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям указанного типа.

2. В противном случае m*(E) = +¥.

Тогда m* - внешняя мера в X, причем m*(А) = m(А) для "А Î P.

Доказательство. Сразу отметим, что для "А Î P выполняется равенство m*(А) = m(А). Действительно, если А Ì Аn, где Аn Î P (n = 1, 2,...), то по теореме 6 m(A) £ m(An). Следовательно, inf из определения m* достигается на покрытии, состоящем из одного множества, а именно самого А. Из полученного равенства сразу следует первое свойство внешней меры.

Если хотя бы для одного n выполняется равенство m*(Еn) = +¥, то второе свойство внешней меры очевидно. Пусть m*(En) < +¥ для всех n. Тогда для произвольного e > 0 найдутся покрытие Еn Ì Bkn множествами Вkn из полукольца P такие, что m*(Еn) ? . Так как Е Ì En, а Еn Ì Bkn, то Е Ì Bkn. Следовательно

m*(Е) £ m(Bkn) £ (m*(En) + e/2n) = m*(En) + e.

В силу произвольности e второе свойство из определения внешней меры доказано.

Определение 22. Будем говорить, что внешняя мера m*, построенная в этой теореме, порождена мерой m.

<< | >>
Источник: Функциональный анализ. Лекции. 2017

Еще по теме 5. Внешняя мера:

  1. 3. 80-е ГОДЫ: КУРС НА ФОРМИРОВАНИЕ ДИВЕРСИФИЦИРОВАННОЙ ВНЕШНЕЙ ПОЛИТИКИ
  2. ВНЕШНЯЯ ПОЛИТИКА РОССИИ НА РУБЕЖЕ XXI ВЕКА: ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ, ЭВОЛЮЦИИ И ПРЕЕМСТВЕННОСТИ
  3. ВНЕШНЯЯ ПОЛИТИКА РОССИИ: ПОИСК СТРАТЕГИИ
  4. 31. Регулирование развития городских агломераций в Великобритании и во Франции
  5. 145. Крупнейшие городские агломерации Латинской Америки
  6.   §3. Внешние и внутренние факторы изменения политики Вашингтона в АТР.  
  7. Меры государственного принуждения, защиты, юридической ответственности
  8. § 2. МЕРЫ БОРЬБЫ С СОВРЕМЕННЫМ БАНДИТИЗМОМ
  9. 8.4. Мера
  10. О РАЗМЕРАХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ В «ПИСЬМАХ ИЗ ФРАНЦИИ» Д.И. ФОНВИЗИНА И «ПИСЬМАХ РУССКОГО ПУТЕШЕСТВЕННИКА» Н.М. КАРАМЗИНА
  11. 3. Организация и деятельность государственных органов по созданию системы мер по борьбе с коррупцией в России
  12. 2.2. Внешние свойства уголовного наказания
  13. Ляпы диамата в ленинских примерах реализации ЗАКОНА
  14. X ПАРЛАМЕНТСКАЯ РЕФОРМА: ОПАСНОСТИ И ПРЕДОХРАНИТЕЛЬНЫЕ МЕРЫ
  15. А. ОТНОШЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ МЕР
  16. 8.4. Мера
  17. 5. Внешняя мера
  18. 7. Мера Лебега на Rn