4. Пространства Лебега и сопряженные к ним

Пусть задано измеримое пространство (X, S, m) с счетно-аддитивной меры m на множестве X и 1 £ р < ¥.

Определение 2. Множество всех измеримых функ­ций f: X ® R, у которых степень |f |^p интегрируема на X, называется лебеговым пространством L_р(Х).

Элементами этого пространства L_р(Х) являются клас­сы эквивалентных функций.

Из неравенства Минковского вытекает, что L_р(Х) является линейным пространством. Норма в этом пространстве определяется по формуле:

.

Теорема 5. Пространства L_р(Х) при 1 £ р < ¥ являются банаховыми.

Доказательство. Вначале покажем, что L_р(Х) являет­ся нормированным пространством. Однородность нормы очевидно выполнена. Из неравенства Минковского вытекает ||f + g|| < ||f || + ||g|| – неравенство треугольника. Если ||f || = 0, то f(x) = 0 при п. в. х ÎХ (следствие 2 теоремы 5.4), и значит функция f ~ 0 эквивалентна нулю на X. Таким образом, все аксиомы нормы выполнены.

Докажем полноту пространства L_р(Х). Для каждой фундаментальной последовательности {f_n} возьмем по­следовательность индексов n₁ < n₂ < ... так, что при всех i, j ? n_k выполняется неравенство ||f_i – f_j|| 1.

В случае р = 1 допустим, что при некотором e > 0 мно­жество Е Ì{xÎA: |g(x)| > ||a|| + e} имеет конечную и положительную меру. Полагая h(х) = c_E ´sgn(g(x)), имеем

.

Это противоречит определению нормы функционала a. Следовательно, ||g||_¥ £ ||a|| в случае р = 1.

Поскольку каждая интегрируемая функция f ÎL_p(X) может быть представлена в виде предела простых ин­тегрируемых функций h_n ÎA(Х) и в силу неравенства Гельдера мы получим

,

то из непрерывности функционала a вытекает

a(f ) = –

указанное представление.

,

заключаем, что норма функционала ||a|| = ||g||_q.

Пример 7. Пусть 1 £ р < ¥ и l_р пространство всех последовательностей из примера 6.3. Заметим, что l_р есть частный случай пространства L_p(X), где X = N есть множество натуральных чисел и мера m(А) равна количеству натуральных чисел множества А Ì N.

По доказанному ранее l_p является банаховым простран­ством. Следующая теорема есть частный случай теоремы для пространства L_p(X).

Теорема 8. Если 1 £ р < ¥, то сопряженное пространство (l_p)* изометрично пространству l_q, где число q = р/(р – 1) в случае 1 < р < ¥ и q = ¥ в случае р = 1.