1. Измеримые функции и их свойства

В классическом анализе используются главным образом непрерывные или кусочно-непрерывные функции. В современном функциональном анализе применяются так называемые измеримые функции.

Рассмотрим измеримое пространство (X, S, m) со счетно-аддитивной полной мерой m.

Определение 1. Пусть Е ÎS. Действительная функция f: E ® R называется измеримой на множестве Е, если лебеговы множества этой функции:

Е(f < с) = {хÎЕ: f(х) < с}

измеримы, т. е. E(f 0.

Утверждение легко вытекает из леммы и непрерывности соответствующих функций u + v, uv и т.д.

Следствие 2. Пусть последовательность {f_n} состоит из изме­римых на множестве Е функций. Если функции вида f_n(x), f_n(x), , принимают конечные значения на Е, то они измеримы.

Если предел функций f(x) = существует при всех х Î Е, то f является измеримой функцией.

Измеримость нижней и верхней грани последователь­ности функций доказывается применением следующих соотношений:

E( f_n < c) = E(f_n < c), f_n(x) = – (– f_n(x)).

Так как при всех х Î Е справедливы равенства

= , = ,

то верхний и нижний пределы будут также измеримыми. Отсюда предел последовательности измеримых функций f = = = является измеримым.