1. Измеримые функции и их свойства
В классическом анализе используются главным образом непрерывные или кусочно-непрерывные функции. В современном функциональном анализе применяются так называемые измеримые функции.
Класс этих функций достаточно широк и в основном он удовлетворяет потребностям анализа.Рассмотрим измеримое пространство (X, S, m) со счетно-аддитивной полной мерой m.
Определение 1. Пусть Е ÎS. Действительная функция f: E ® R называется измеримой на множестве Е, если лебеговы множества этой функции:
Е(f < с) = {хÎЕ: f(х) < с}
измеримы, т. е. E(f 0.
Утверждение легко вытекает из леммы и непрерывности соответствующих функций u + v, uv и т.д.
Следствие 2. Пусть последовательность {fn} состоит из измеримых на множестве Е функций. Если функции вида 
fn(x), 
fn(x), 
, 
принимают конечные значения на Е, то они измеримы.
Если предел функций f(x) = 
существует при всех х Î Е, то f является измеримой функцией.
Измеримость нижней и верхней грани последовательности функций доказывается применением следующих соотношений:
E( fn < c) = 
E(fn < c), fn(x) = – (– fn(x)).
Так как при всех х Î Е справедливы равенства
= 
, = 
,
то верхний и нижний пределы будут также измеримыми. Отсюда предел последовательности измеримых функций f = = = является измеримым.