<<
>>

1. Измеримые функции и их свойства

В классическом анализе используются главным образом непрерывные или кусочно-непрерывные функции. В современном функциональном анализе применяются так называемые измеримые функции. Класс этих функций достаточно широк и в основном он удовлетворяет потребностям анализа.

Рассмотрим измеримое пространство (X, S, m) со счетно-аддитивной полной мерой m.

Определение 1. Пусть Е ÎS. Действительная функция f: E ® R называется измеримой на множестве Е, если лебеговы множества этой функции:

Е(f < с) = {хÎЕ: f(х) < с}

измеримы, т. е. E(f 0.

Утверждение легко вытекает из леммы и непрерывности соответствующих функций u + v, uv и т.д.

Следствие 2. Пусть последовательность {fn} состоит из изме­римых на множестве Е функций. Если функции вида fn(x), fn(x), , принимают конечные значения на Е, то они измеримы.

Если предел функций f(x) = существует при всех х Î Е, то f является измеримой функцией.

Измеримость нижней и верхней грани последователь­ности функций доказывается применением следующих соотношений:

E( fn < c) = E(fn < c), fn(x) = – (– fn(x)).

Так как при всех х Î Е справедливы равенства

= , = ,

то верхний и нижний пределы будут также измеримыми. Отсюда предел последовательности измеримых функций f = = = является измеримым.

<< | >>
Источник: Функциональный анализ. Лекции. 2017

Еще по теме 1. Измеримые функции и их свойства:

  1. 3.1 Самоподобие и зависимость от масштаба
  2. 9.7. Типология У. Оучи
  3. 0.2. Мышление и наблюдение. Лекция первая
  4. § 1. Понятие осуществления субъективных гражданских прав
  5. Содержание дисциплины
  6. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  7. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  8. § 2. Измеримые пространства.
  9. § 3. Задание вероятностных мер на измеримых пространствах.
  10. §6 Точечные случайные процессы. Формула Ито для считающих процессов. Компенсаторы.
  11. §8 Свойства компенсаторов точечных процессов. Случайная замена времени.
  12. §1 Винеровский процесс и его свойства.
  13. §2 Стохастические интегралы по винеровскому процессу.
  14. 6. Измеримые множества
  15. 1. Измеримые функции и их свойства
  16. 3. Сходимость по мере и ее свойства
  17. 5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина