<<
>>

1.2. Определители.

Пусть дана квадратная (число строк равно числу столбцов) таблица (матрица) А из четырех элементов (чисел).

Назовем определителем второго порядка некоторое число D, соответствующее этой таблице и вычисляемое по правилу:

; (1.3)

(Из произведения элементов, стоящих по главной диагонали вычитается произведение элементов, стоящих по вспомогательной диагонали).

Аналогично может быть составлен определитель произвольного (N-го) порядка, соответствующий квадратной матрице, содержащей N строк и N столбцов. Сформулируем алгоритм его вычисления на примере определителя третьего порядка (N=3).

Для нумерации элементов определителя использованы двойные индексы, позволяющие однозначно определить местоположение элемента: первое число индекса – это номер строки, а второе – номер столбца, на перекрестье которых

расположен соответствующий элемент. (Строки и столбцы нумеруются сверху-вниз и справа-налево соответственно).

Пусть дан определитель N порядка. Минором Mmn элемента amn определителя (1 ≤ m ≤ N – номер строки, а 1 ≤ n ≤ N – номер столбца на перекрестьи которых элемент аmn расположен) назовем определитель N – 1 порядка, получаемый из исходного вычеркиванием m строки и n столбца. Алгебраическое дополнение элемента amn определим соотношением

(1.4)

Операция вычисления определителя с помощью вновь введенных величин называется раскрытием определителя по элементам его строки (столбца) и выполняется в соответствии со следующей теоремой: Определитель произвольного порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Несложно убедиться, что правило вычисления определителя второго порядка есть частный случай предложенного способа.

Определитель третьего порядка, раскрываемый по элементам первой строки, примет вид:

(1.5)

(Это соотношение известно как формула Саррюса.)

Полезно иметь ввиду следующие свойства определителей:

1. Определитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы строками.

2. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

3. Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

5. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить соответственные элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число.

7.

Контрольные вопросы.

1) Каковы основные свойства определителей?

2) Что называется минором и алгебраическим дополнением?

3) Каковы способы вычисления определителей?

Тест 1.

Вычислить определители и указать верный ответ

а)

б)

а)

б)

<< | >>
Источник: Гофман В.Г., Брусник Н.А., Семёнова С.В.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов технологических и механических специальностей, всех форм обучения. Часть 1. - МГУТУ, 2004г.. 2004

Еще по теме 1.2. Определители.:

  1. 1.2. Определители.
  2. Определители.( детерминанты).
  3. Тема 1. Определители.
  4. Факторы-определители и факторы-созидатели
  5. Разработка метрикфакторов-определителей и факторов-созидателей
  6. Критерии оценки метрик факторов-определителей и факторов-созидателей
  7. Система измерений факторов-определителей и факторов-созидателей. Пример из практики: общественная компания телерадиовещания
  8. 4. Умные бизнес-метрики для факторов-определителей стоимости
  9. Генерирование факторов-определителей стоимости
  10. Генерирование факторов-определителей стоимости
  11. Генерирование факторов-определителей стоимости
  12. Глава 4: Умные бизнес-метрики для факторов-определителей стоимости