Определитель квазитреугольной матрицы

Теорема 4.6. Определитель квазитреугольной матрицы равен произведению определителей диагональных клеток.

Доказательство. Пусть A - верхняя квазитреугольная матри­ца m-го порядка.

В этих столбцах все миноры k-гo порядка, кроме за­ведомо равны нулю, а алгебра­ическое дополнение к минору совпадает с дополнитель­ным минором. Согласно теоре­ме Лапласа отсюда имеем, что

|А| = • |, где - тоже квазитреугольная матрица, но уже (m — 1)-го порядка, начи­нающаяся с клетки .

Поступая точно так же еще (m-1) раз, получим, что

|A| = |*|*...*|

Теорема 4.7. Определитель произведения квадратных мат­риц равен произведению определителей матриц-сомножителей.

Доказательство. Пусть А = (), В = () - квадратные матрицы n-го порядка. Рассмотрим матрицу С вида

С одной стороны, С - квазитреугольная матрица, поэтому согласно |A| = |*|*...*|

|C|=|A|*|B|

(Дальше не продолжал, по-моему мы это не проходили)