Определитель n-ого порядка.

Определителем n-го порядка соответствующего матрице 1 называется алгебраическая сумма n! членов, каждый из которых является произведением n элементов этой матрицы, взятых по одному из разных строк и столбцов.

При этом знак с которым данный член входит в эту сумму является знаком "+" (знаком с которым данный член входит в эту подстановку).

Свойства определителей.

Свойство 1. В определителе N-ого порядка строки и столбцы равноправны.

Свойство 2. Определитель в состав которого входит строка из нулей, равен нулю. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ХЕРМА

Свойство 3. Если один определитель получается из другого перестановкой строк, то он равен ему с обратным знаком

Свойство 4. Если в определителе 2 одинаковых строки(столбца), то он равен нулю d=-d -> d=0

Свойство 5. Если каждый элемент в строке определителя умножить на число K, то определитель умножается на это число.

Свойство 6. Если одна строка определителя получается умножением другой строки на некоторое число K, то такой определитель равен "0".

Свойство 7. Если элемент i-й строки представляется суммой других жлементов =b+c, то исходный определитель равен сумме 2х опредеклителей, все строки за исключением i-й совпадают с исходной а i-я строка первого элемента состоит из элементов Bj, а второй из Cj

Свойство 8. Если одна строка (столбец) матрицы явля­ется линейной комбинацией других ее строк (столбцое)₁ то опреде­литель матрицы равен нулю.

Док-во: По свойству 7 исходный определитель представляется состоит из нескольких определителей

Свойство 9. Если к какой-либо строке(столбцу) матрицы прибавить линейную комбинацию ее других строк(столбцов) определитель не изменится.