§ 4. Показательная и логарифмическая функции

Функция

у = ах (17)

является показательной, потому что независимая переменная х входит в показатель степени. При а = 1 мы получаем ах = 1, т.е. постоянную функцию у = 1. Если, например, а = -3, то при х = получаем .

Рассмотрим, например, показательную функцию с основанием 2:

у – 2х (18)

Эта функция возрастает на всей числовой оси, т.е. при изменении переменной от –¥ до ¥. Если х стремится к –¥, то у стремится к нулю. Это видно из следующей таблицы значений функции у = 2х:

х	0	–1	–2	–3	–4	–5	...
у	1						...

График функции у = 2х изображен на рис.18.

Найдем теперь функцию, обратную показательной (17). Для этого, как и выше, сделаем замену х-у:

х = ау

Итак величина у представляет собой показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить х .Это принято записывать следующим образом:

у = loga x (19)

Выражение справа читают так: «логарифм числа х по основанию а». Функция (19) называется логарифмической. Согласно определению,

loga 1 = 0, loga a = 1, loga ak = k

График логарифмической функции, как и положено, симметричен графику функции у = ах относительно прямой у = х.

На рис. 19 изображены графики функций у = 2х и у = log2 x. Мы видим, что обе функции – показательная и логарифмическая являются возрастающими. Но это только потому, что основание а больше единицы. Например, в случае а = графики показательной функции у = и обратной ему логарифмической функции у = имеют иной вид (см. рис. 20). Видно, что обе функции являются убывающими.

Для логарифмов по основаниям 10 и е (е — неперово число, см. гл. I, §2) используются специальные обозначения: log10 х = lg х, loge х = ln x.

Показательная функция у = ех играет в математике особую роль. Она называется экспоненциальной функцией или, короче, экспонентной.

Пример. Степень экологической безопасности мест захоронения радиоактивных отходов зависит от скорости распада радиоактивной массы т. Известно, что эта скорость в момент времени t пропорциональна массе вещества, что приводит к следующей зависимости:

m(t) = m0 e-kt.

Здесь m0 — масса отходов в начальный момент, m(t) — масса отходов, оставшаяся к моменту времени t. Параметр k находят опытным путем.

Пользуясь приведенной выше формулой, можно вычислить количество отходов на любой интересующий нас момент времени. Например, для одного из изотопов кобальта k = 0,13. Найдем массу отходов кобальта, которая останется через 5,2 года, при условии, что исходная масса была 100 граммов. Имеем:

т(5,2) = 100e-0,13?5,2 = 100 • е–0,676 = 50,87 г.

(Напоминаем, что временной промежуток, за который распадается половина массы, называется периодом полураспада.)

УПРАЖНЕНИЯ

12. Постройте графики функций а) у = 3х; б) у = ; в) у = log3 х; г) у = .

13. Постройте графики функций а) у = 2х; б) у = 3х; в) у = ех.

Указание: учтите, что 2 < е < 3.

14. Изобразите на одном чертеже графики функций а) у = log2 х; б) у = log3 х; в) у = loge х = ln х.

Логарифмы используют для приближенного вычисления произведений, частных и степеней. Если под рукой нет калькулятора, но имеется таблица десятичных логарифмов, то вычисления проводят так. Найдем, например, число N = 0,950. Пользуясь свойствами степеней и логарифмов, находим:

Итак, lg N = -2,29. Следовательно,

Значения lg 9 и 100,71 найдены с помощью таблиц десятичных логарифмов и антилогарифмов.

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ

1. С помощью калькулятора постройте график функции

(20)

на отрезке [-4, 4].

Указание: разбейте отрезок на 16—20 частей и найдите значения заданной функции в полученных точках. Результаты оформите в виде таблицы: