11. Показательная функция

, пусть , тогда

Можно так представить:

1) -- аналитическая во всей комплексной плоскости (доказывается с помощью условия Коши-Римана и дифференцируемости во всех точках)

2)

3)

4)

5) , так как

6)

7) -- периодическая с чисто мнимым периодом :

8) Области однолистности

Пусть , пусть .

Если , то обязательно .

Поэтому любая горизонтальная полоса шириной будет областью однолистности. Любая полоса переходит во всю комплексную плоскость с разрезом по действительной неотрицательной оси. А перейдёт в плоскость с разрезом по лучу

1) Любая прямая в плоскости перейдёт в луч :

2) Любой отрезок перейдёт в окружность радиуса :

12. Логарифмическая функция