6.1. Показательная функция

Функция y=ax , где а – заданное число, называется показательной функцией переменной x.

Если a>0, то функция y=ax определена при всех действительных значениях x, причём при а=1 имеем 1x=1.

Если a0.

В связи с выше изложенным, показательную функцию рассматривают при a>0 и a≠1. График показательной функции приведен на (Рис. 6.1).

Рис. 6.1

Основные свойства показательной функции:

1. Область определения D(f)=R; область изменения E(f)=(0;+∞).

2. При a>1функция монотонно возрастает: .

3. При 00, y>0 справедливы равенства:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ; 5. ;

6. – формула перехода к другому основанию.

В частности: а), b) , где ,

е= 2,71828… (lnx– натуральный логарифм),

c) , где lgx=log10x (lgx–десятичный логарифм),

d).

Пример. Прологарифмировать по основанию a выражение .

Решение.

Пример. Прологарифмировать по основанию a выражение .

Решение. .

Пример. Доказать, что .

Решение. Прологарифмируем равенство по основанию с, что даст тождество: , следовательно, утверждение доказано.

Пример. Вычислить =А.

Решение. Перейдём в показателях степеней к основаниям 7 и 5.

,.

Тогда. Ответ. .

Пример. Упростить

Решение. ,

, А =. Ответ. 10.

Пример. Найти по данному его логарифму:

.

Решение: .

Упражнения

1. Прологарифмировать по основанию а. .

2. Вычислить: ; с)log2472, если log24=a;

d) ; e)

3. Упростить:

4. Найти по данному логарифму: