6.4 Показательные и логарифмические уравнения

Определение. Показательным называется уравнение, содержащее неизвестные только в показателе степени.

Простейшее показательное уравнение имеет вид: (6.1)

Укажем несколько типов показательных уравнений, решения которых находятся методами элементарной математики.

1. заменой f(x)=t приводится к уравнению (6.1).

2. приводится к уравнению f(x)=g(x);

3. логарифмированием приводится к виду .

4. заменой приводится к уравнению F(t)=0, а затем к совокупности уравнений: , где его корни.

5. , где A, B, C – постоянные, а f(x)– заданная функция. Заменой t=af(x) приводится к квадратному уравнению At2+Bt+C=0 . (6.2)

6. делением, например, на b2f(x) с последующей заменой , (t>0) приводится к квадратному уравнению вида (6.2).

Определение. Логарифмическим называется уравнение, содержащее неизвестные под знаком логарифма или в основании логарифма.

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

, где a>0, a≠1, b R, x>0. (6.3)

Общего метода решения логарифмического уравнения не существует, но можно выделить несколько наиболее распространенных случаев.

1. .

2. потенцированием приводиться к уравнению f(x)=g(x).Корни последнего уравнения будут корнями исходного уравнения, если они принадлежат области определения: f(x)>0, g(x)>0.

3. F(logaf(x))=0 заменой logax=t приводится к уравнению F(t)=0, а затем к совокупности уравнений: ; ; … где , , … его корни.

4. Уравнения с различными основаниями приводятся к уравнениям с одним основанием.

5. Показательно-логарифмические уравнения .

Уравнение называется показательно-логарифмическим, если неизвестное входит в основание и под знак логарифма в степени.

Как правило, показательно-логарифмические уравнения логарифмированием приводятся к логарифмическим.