<<
>>

§ 5. Элементарные функции

Кроме функций, перечисленных в предыдущих параграфах, в школе изучают еще тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, причем последние четыре просто выражаются через синус и косинус:

, , ,

По определению, sin x = a, cos х: = b, где (а, b) — координаты точки М, которая лежит на окружности единичного радиуса с центром в начале координат, а х — угол, образованный вектором ОМ и осью X (см. рис. 21).

Если точка М сделает полный оборот и придет в исходное положение, то угол x увеличится на 2л7. Но числа а и b в результате этой процедуры не изменятся. Отсюда вытекает, что синус, косинус и все другие тригонометрические функции будут периодическими функциями с периодом 2я, т.е. для них

sin x = sin(x + 2л) = sin(x + 4л) = ... = sin(x + 2πk),

cos x = cos(x + 2л) = cos(x + 4л) = ... = cos(x + 2πk),

где k — любое целое число. Периодичность — важнейшее специфическое свойство тригонометрических функций. Другие функции — степенная, показательная и логарифмическая — периодическими не являются. С по­мощью тригонометрических функций описываются самые разнообразные периодические процессы, происходящие в живой и неживой природе: колебательные и вращательные движения, волновые явления, движение планет, биологические ритмы и т.д.

Подумайте, является ли постоянная функция периодической.

Функции, как и числа, можно складывать, вычитать, умножать и делить. Например, если разделить одну линейную функцию на другую, то получим так называемую дробно-линейную функцию:

Если сложить несколько степенных функций вида ахп, где n — натуральное число или нуль, то получится многочлен. Например, многочлен второй степени

у = ах2 + bх + с

получается как сумма трех функций:

у = ах2, у = bх = bх1, у = с = сх0.

Точно так же получается многочлен любой степени п:

у = а0хп + a1xn-1 + а2хп-2 + ... + ап-1х + ап.

Многочлены играют важную роль и математике и ее приложениях. Примерно 100 лет назад Карл Вейер-штрасс8 доказал, что любую непрерывную функцию можно приближать многочленами с любой степенью точности. В частности, приближенное значение функ­ции ех находят по формуле

еx ?1+ х + х2 + х3 + ...+ хп.

Чем больше п (число слагаемых), тем выше точность, т.е. тем меньше приближенное значение функции отличается от ее истинного значения.

Вычислим, например, с помощью многочленов значение массы кобальта (см. пример из предыдущего параграфа). Если ограничиться тремя слагаемыми, то получим:

ех ?1 + х + х2.

Пользуясь этой формулой, находим:

Если же взять четыре слагаемых, то получим

ех ? 1 + х + х2 + х3.

Эта формула дает уже более точное значение:

Если один многочлен поделить на другой, получится дробно-рациональная функция, например:

Кроме того, представляют интерес и более сложные выражения:

y = x sinx, y = x + sinx, у = (ех + е-х)

и т.п.

Над функциями можно производить еще одну операцию, которая не имеет аналога у чисел. Это операция композиции. Рассмотрим, например, функции у = v2 и v = х - 1. Их композицией будет функция

y = (x- 1)2,

которая получается подстановкой значения v в выражение для у. Точно так же функция

y = e–x

представляет собой композицию функций у = еv и v = -х2.

Композиции двух или нескольких функций называются также сложными функциями.

Теперь мы можем ответить на вопрос, что такое элементарная функция. Так называются постоянные, линейные, степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции, а также функции, которые получаются из них с помощью конечного числа арифметических операций и операций композиции. Например, следующие функции являются элементарными:

у = ln cos х, у = 2sin x, у = lg x + lg lg x.

Из определения ясно, что всякая элементарная функция может быть представлена в виде композиции наиболее простых элементарных функций, что дает возможность построить ее график. Именно так в школе исследуется многочлен второй степени (так называемый квадратный трехчлен).

Напомним, как это делается. Рассмотрим, например, многочлен

у = 2x2 – 10x + 12. (22)

Преобразуем правую часть, выделив полный квадрат:

2х2 – 10x + 12 = 2(х2 -5х + 6,25) - 0,5 = 2(х - 2,5)2 - 0,5.

В результате заданный многочлен можно записать следующим образом:

у = 2(х - 2,5)2 - 0,5.

Теперь хорошо видно, что он представляет собой композицию трех функций:

у = и - 0,5; и = 2v2; v = x - 2,5. (23)

Пользуясь этим, построим график многочлена (22). Сначала строим график известной нам функции и = 2v2 (см. рис. 22).

Рассмотрим далее первое из равенств (23):

у = и – 0,5.

Оно означает, что у каждой точки М плоскости мы уменьшаем ее вторую координату и на 0,5, в результате чего получается новая вторая координата у. Эта операция равносильна тому, что мы поднимаем горизонтальную ось (ось v) на 0,5 вверх. В результате получаем картину, изображенную на рис. 23 (прежнее положение оси v обозначено пунктиром).

Далее рассмотрим третье равенство (23), которое запишем так:

х = и + 2,5.

Оно означает, что к первой координате v каждой точки плоскости мы прибавляем число 2,5 и получаем в результате новую первую координату х. Это равносильно тому, что мы сдвигаем ось у на 2,5 единицы влево (см. рис. 24, на котором прежнее положение оси Y обозначено пунктиром).

Итак, график многочлена второй степени (22) получается сдвигом параболы у = 2х2 на 2,5 единицы вправо и 0,5 единицы вниз. Числа 2,5 и -0,5 являются координатами вершины полученной таким образом параболы.

Ясно, что описанные построения можно проделать с любым многочленом второй степени, так что графиком любого многочлена второй степени является парабола.

Более того, с помощью аналогичных рассуждений можно строить графики и других элементарных функций.

УПРАЖНЕНИЯ

15. Постройте графики следующих функций:

а) у = 2х–1 + 3; б) у = lg(x + 1); в) у = (х - 1)3.

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ

2. Процесс роста популяции описывается так называемой логистической функцией

f(t)= . Здесь f(t) — размер популяции в момент времени t. Постройте график этой функции.

<< | >>
Источник: Неизвестный. Математика. 0000

Еще по теме § 5. Элементарные функции:

  1. Институциональное планирование И проблема дисфункции институтов
  2. § 45. Интегрирование тригонометрических функций
  3. 2.1. Функция.
  4. Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции.
  5. Функция Лапласа.
  6. 2.4.1 Синтаксис элементарного предложения
  7. Раздел 2. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
  8. 2.3. Элементарные функции и конформные отображения
  9. Тема 10. Множества. Числовые множества. Функция.
  10. § 5. Элементарные функции
  11. Понятие непрерывности функции в точке и на промежутке.
  12. §11. Основные элементарные функции