§ 5. Элементарные функции

Кроме функций, перечисленных в предыдущих параграфах, в школе изучают еще тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, причем последние четыре просто выражаются через синус и косинус:

, , ,

По определению, sin x = a, cos х: = b, где (а, b) — координаты точки М, которая лежит на окружности единичного радиуса с центром в начале координат, а х — угол, образованный вектором ОМ и осью X (см.

Если точка М сделает полный оборот и придет в исходное положение, то угол x увеличится на 2л7. Но числа а и b в результате этой процедуры не изменятся. Отсюда вытекает, что синус, косинус и все другие тригонометрические функции будут периодическими функциями с периодом 2я, т.е. для них

sin x = sin(x + 2л) = sin(x + 4л) = ... = sin(x + 2πk),

cos x = cos(x + 2л) = cos(x + 4л) = ... = cos(x + 2πk),

где k — любое целое число. Периодичность — важнейшее специфическое свойство тригонометрических функций. Другие функции — степенная, показательная и логарифмическая — периодическими не являются. С по­мощью тригонометрических функций описываются самые разнообразные периодические процессы, происходящие в живой и неживой природе: колебательные и вращательные движения, волновые явления, движение планет, биологические ритмы и т.д.

Подумайте, является ли постоянная функция периодической.

Функции, как и числа, можно складывать, вычитать, умножать и делить. Например, если разделить одну линейную функцию на другую, то получим так называемую дробно-линейную функцию:

Если сложить несколько степенных функций вида ахп, где n — натуральное число или нуль, то получится многочлен.

у = ах2 + bх + с

получается как сумма трех функций:

у = ах2, у = bх = bх1, у = с = сх0.

Точно так же получается многочлен любой степени п:

у = а0хп + a1xn-1 + а2хп-2 + ... + ап-1х + ап.

Многочлены играют важную роль и математике и ее приложениях. Примерно 100 лет назад Карл Вейер-штрасс8 доказал, что любую непрерывную функцию можно приближать многочленами с любой степенью точности. В частности, приближенное значение функ­ции ех находят по формуле

еx ?1+ х + х2 + х3 + ...+ хп.

Чем больше п (число слагаемых), тем выше точность, т.е. тем меньше приближенное значение функции отличается от ее истинного значения.

Вычислим, например, с помощью многочленов значение массы кобальта (см. пример из предыдущего параграфа). Если ограничиться тремя слагаемыми, то получим:

ех ?1 + х + х2.

Пользуясь этой формулой, находим:

Если же взять четыре слагаемых, то получим

ех ? 1 + х + х2 + х3.

Эта формула дает уже более точное значение:

Если один многочлен поделить на другой, получится дробно-рациональная функция, например:

Кроме того, представляют интерес и более сложные выражения:

y = x sinx, y = x + sinx, у = (ех + е-х)

и т.п.

Над функциями можно производить еще одну операцию, которая не имеет аналога у чисел.

y = (x- 1)2,

которая получается подстановкой значения v в выражение для у. Точно так же функция

y = e–x

представляет собой композицию функций у = еv и v = -х2.

Композиции двух или нескольких функций называются также сложными функциями.

Теперь мы можем ответить на вопрос, что такое элементарная функция. Так называются постоянные, линейные, степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции, а также функции, которые получаются из них с помощью конечного числа арифметических операций и операций композиции. Например, следующие функции являются элементарными:

у = ln cos х, у = 2sin x, у = lg x + lg lg x.

Из определения ясно, что всякая элементарная функция может быть представлена в виде композиции наиболее простых элементарных функций, что дает возможность построить ее график. Именно так в школе исследуется многочлен второй степени (так называемый квадратный трехчлен).

Напомним, как это делается. Рассмотрим, например, многочлен

у = 2x2 – 10x + 12. (22)

Преобразуем правую часть, выделив полный квадрат:

2х2 – 10x + 12 = 2(х2 -5х + 6,25) - 0,5 = 2(х - 2,5)2 - 0,5.

В результате заданный многочлен можно записать следующим образом:

у = 2(х - 2,5)2 - 0,5.

Теперь хорошо видно, что он представляет собой композицию трех функций:

у = и - 0,5; и = 2v2; v = x - 2,5. (23)

Пользуясь этим, построим график многочлена (22). Сначала строим график известной нам функции и = 2v2 (см. рис. 22).

Рассмотрим далее первое из равенств (23):

у = и – 0,5.

Оно означает, что у каждой точки М плоскости мы уменьшаем ее вторую координату и на 0,5, в результате чего получается новая вторая координата у. Эта операция равносильна тому, что мы поднимаем горизонтальную ось (ось v) на 0,5 вверх. В результате получаем картину, изображенную на рис. 23 (прежнее положение оси v обозначено пунктиром).

Далее рассмотрим третье равенство (23), которое запишем так:

х = и + 2,5.

Оно означает, что к первой координате v каждой точки плоскости мы прибавляем число 2,5 и получаем в результате новую первую координату х. Это равносильно тому, что мы сдвигаем ось у на 2,5 единицы влево (см. рис. 24, на котором прежнее положение оси Y обозначено пунктиром).

Итак, график многочлена второй степени (22) получается сдвигом параболы у = 2х2 на 2,5 единицы вправо и 0,5 единицы вниз. Числа 2,5 и -0,5 являются координатами вершины полученной таким образом параболы.

Ясно, что описанные построения можно проделать с любым многочленом второй степени, так что графиком любого многочлена второй степени является парабола.

Более того, с помощью аналогичных рассуждений можно строить графики и других элементарных функций.

УПРАЖНЕНИЯ

15. Постройте графики следующих функций:

а) у = 2х–1 + 3; б) у = lg(x + 1); в) у = (х - 1)3.

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ

2. Процесс роста популяции описывается так называемой логистической функцией

f(t)= . Здесь f(t) — размер популяции в момент времени t. Постройте график этой функции.