§ 3. Способ приближенного решения уравнений.

Regula falsi, бесспорно, родоначальник приблилеенных методов вычисления. Сущность простого фальшивого правила молено представить следующим образом: полагая в уравнении

А(х) = К (6)

х = хо; имеем

Решение тогда определяем из пропорции

х _ К Хо Кц

Если нельзя уіеазать точное значение для х, естественно довольствоваться приблизительным, которое іеак можно меньше отличается от первого.

Такое нетомное значение х находится примитивным способом проб, как это указано в § 1.

Предположим, что система операции А (х) разлагается иа С (х) и D (х); уравнение (6) символически представляется в следующем виде: [C(x),D(x)]=K (7)

Пусть все затруднение в D(x).

Задачу С(х) = К мы решили бы просто.

Конечно, первое, что приходит на мысль, это просто отбросить D (х) и решать ур. (8).

Этот прием может дать приближенное решение, но как получить ещо, более точное?

Тут выступает благотворная идея.

При разыскании более точного значения х ие отбрасывать D (х), а производить эти операции над первым приближением х = а, т.е. решать уравнение

[С(х), D(a)] = К (?>)

В этом и состоит выправление неточного решения в более точное X = Ь. Следующий момент состоит в решении уравнения [C(x),D(b)]=K (10)

и т.д.

И здесь метод обоснован верой в то (что в общем случае, конечно, неправильно), что ряд а, Ь, с... сходится к корню заданного уравнения (7).

В то время, как в первоначальном виде выправление ложного предложения иа основании полученного при нем результата производилось до точного значения неизвестного, при переходе от точного решения уравнения к приближенному понятие о выправлении ложного предложения обра-тилось в полученное из этого ложного предложения другого, тоже ложного, но более, чем первое приближающегося к истинному. Для решения уравнения Кеплера

X - esilix = И (11)

где u, е даны, причем е мало, берут х = и за первое предположение - первое qjy6oe приближение xQ.

Выправление этого грубого приближения совершается с помощыо уравнения

х - esinx = и о

дающего тоже неточное, по, вообще, более полное, чем первое, приближение.

Эта же идея прилагается и Жерардом" к решению уравнения третьей степени

х3 - mVx - mV = 0 (12)

к которому сводится всякое уравнение типа Xі - рх - q = О

Полагая sin 2 ю = — г

приводим (12) к виду

sin2a> + 2m = 2tg(0.

Для получения последовательных приближений, берем со = х (при- ближ. полученного пробами).

Второе получаем из уравнения sin2со + 2m = 2tga , третье из sin 2со + 2m = 2tg|3.

В этом виде regnla falsi избегают даже в высших технических заведениях, вследствие невозможности строгого обоснования этого метода.

Конечно, это большая ошибка, ибо высшее техническое заведение должно обращать внимание на те отделы математики, в которых нуждаются технические науки, и лучше дать технику в руки плохо обоснованный метод решения трансцендентных уравнений, чем не дать ничего.

С развитием разложения в ряды как орудия исследования, regula falsi принимает такую форму: х = х0 - грубое приближение корня уравнения

f(x) = 0 (13)

так что точное значение будет:

х = х +11.

о

Уравнение (13) представляется в форме разложения a +ah + ah2+ ...

0 I 2

К этому-то уравнению и применяется та операция, которую мы прилагаем к уравнению Кеплера, т.е. отбрасывание членов:

air + a h3 + ...

2 3

и определяется первое приближение

Полагая

X = X + h +h' = х +h', о і і

мы аналогично определяем уравнение для h'; с помощью его приближае-мого значения, получаемого отбрасыванием членов a' h'* + ..., выправляем х, до более точного значения х(+ h', и т.д.

Формула Тейлора дает возможность написать для h, h\ h", так сказать, готовые формулы и установить так называемый метод Ньютона при-ближенного определения корней уравнения.