§ 4. Regula infusa в арифметике.

В чем состоит трудность чисто арифметического решения задач?

Конечно, в наглядно-риторическом истолковании дистрибутивных операций, выраженных формулой:

(а+Ь)с = ас + be если а, в, с целые числа, то это не представляет затруднений.

Легко убедить, что если

5 мужчин получает в день по 2 р.

7 женщин получат в день по 2 р.,

то рассчитать всю полученную ими сумму можно двояко; сперва рассчитывая сумму, полученную мужчинами, 2 р, ¦ 5 = 10 р., затем женщинами 2 р.

Но возьмем задачу: мальчик получил от отца на расходы в начале недели некоторую сумму денег и в продолжение педели истратил 2 рубля. На одну треть оставшейся у него части и на подарок 50 к. от дяди в конце месяца он купил воздушный змей за 1 р. 50 к.

Сколько он получил денег от отца?

Уравнение, разрешающее вопрос:

—(х-2) + —= 1— 3V ' 2 2

Решение его

-Х---) ---

3Х 3 2 ~2

и т.д.

Но эта операция арифметически не истолковывается, так как2/3 руб. не имеют конкретного смысла.

Нетрз'дно видеть, каким образом мы должны построить решение этой задачи, совершенно не соответствующее обычному методу решения уравнений первой степени.

Мы должны идти по тому пути, который соответствует решению уравнения 1-й степени в арабской алгебре в позднейших стадиях ее развития, названному Абрахамом Эзра7 Regula infusa, иначе - методом подстановки.

Уравнение:

Н-*ННх-4Ьа т

Эзра решает (если ввести современный символический язык алгебры), полагая

х~1х-4 = у, (21)

что приводит уравнение (21) к более простому:

y-iy=20, (22)

4

которое уже не трудно разрешить.

В приведенной нами задаче за неизвестное следует принять не сум-му, полученную мальчиком сгг отца, а то, что у него осталось после траты 2

1 I 1

рублей; — этой суммы равна 1— рубля без дядиных — р., т.е. 1 рублю.

Значит, это новое искомое равно 3 р., а первоначальное поэтому=5 р.

Я укажу на одну очень интересную и в методическом отношении нелегкую задачу:

У двух мальчиков, Ивана и Петра, имеются орехи. Если Петр даст Ивану один орех, у них оказывается поровну. Если же Иван даст Петру одии орех, у Петра оказывается вдвое больше, чем у Ивана,

Здесь путь решения идет, конечно, через regula infusa. За неизвестное следует принимать не число орехов у Петра, а то число, которое будет иметь Иван, когда у него отнимут один орех, или Петр, когда отнимут у него три.