Аксиомы арифметики.

Аксиомы равенства: (х=у) (x=z—>y=z);

Рефлексивность bk(x=x) (для всех х имеет место, что х равно х);

Симметричность Vx, Vy(x=y —> у=х) (для всякого х и для всякого у имеет место, что если х равно у, то у равно х); Транзитивность Vx,VyVz fx Ул У xj —>(x=z).

Аксиомы Пиано:

1 (Sx=0) (неверно, что следующий за х равно нулю).

(х=у) —> (Sx=Sy) (если х равно у, то следующий за х равно следующему за у).

Аксиомы, определяющие функцию сумма х+у. х+0=х

х+= Sy = S (х+у) из них выводят: 0+0=0

0+ Sx= S(0+x)

Vs. -| (х+1 = 1) (для всех х не имеет место, что х плюс единица равно единице).

Vc, Vy (х+у= у+х) \A,\fyVz [(х+у)+ z=x+(y+z)]

Аксиомы, определяющие функции произведения ху: х-0=0 (х раз нуль равно нулю)

x-Sy=(xy)+x (х раз следующий за у равно х раз у плюс х).

7Примером может послужить система топологической логики, предложенная Х.А. Весселем:

О, если х=п

X =

Х^у :

XVy =

хАу =

п, если X < п О, если х>п у, если X <у х, если х<у у, если X >у х, если X >у у, если х<у

О, если X =у х=у = у, еслиу>х

х, еслиу<х

8Некоторые из 26 наиболее основных правил логического следования, принятых в топологической логике:

правила следствия для отрицания

xGy |= -| х G -| у. что читается так: если отношение между х и у равноистинно, то равноистинно и отношение между не-х и не-у.

Xi Wx2 |= -| (-\Х\ W~| ХТ), Т. е. если Xi менее истинно, чем х2, то не верно, ЧТО НЄ-Хі менее истинно, чем не-х2.

правила следования для дизъюнкции X! lV\2h (х\ Vx2J GX2

X! G х2 |= (х\ Vx2) Gx2

правила следования для конъюнкции X! Wx2U (xiAxi) Gxi

Xi G x2 |= (xx ЛХ2) GXI

правила следования для импликации xi G у! , x2 G y2 |= xi yi GX2-^ y2

Xi G yh x2 Wy2 h Xi —>• yi GX2—> y2 xi Wyh x2 G y2 |= xi —>• y2 Gx2—> y2 - правила следования для равнозначности

Xi Жх2 |= X! = х2 GX2

XI G yu x2 G y2 |= Xi = yi GX2= y2